Числовые последовательности

Числоваяпоследовательность – это функция натурального аргумента, т.е. , где . Т.о. каждому натуральному числу 1,2,3,4,… соответствует определенное значение функции. Обозначается .

Способы задания последовательностей

1. Устно, перечислением первых нескольких элементов

2. Аналитически – формулой n-го члена

3. Рекуррентно – формулой, позволяющей вычислить n-й член последовательности, по известным предыдущимэлементам последовательности.

Свойства числовой последовательности

Т.к. числовая последовательность – это частный случай функции, она обладает некоторыми свойствами функций.

1. Ограниченность

   1. ЧПограниченасверху – или

   2. ЧП ограниченаснизу – или

   3. ЧП ограничена – ЧПограничена и снизу и сверху

2. Монотонность

   1. Монотонная ЧП – ЧП возрастающая или убывающая

   2. Возрастающая ЧП – Еслидля любых выполняется

   3. Убывающая ЧП – Еслидля любых выполняется

Частные случаи числовых прогрессий

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это разновидность числовой последовательности, заданная:

1. Рекуррентной формулой вида

2. Аналитической формулой вида

Сумма первых членов арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – это разновидность числовой последовательности, заданная:

1. Рекуррентной формулой вида

2. Аналитической формулой вида

Сумма первых членов геометрической прогрессии:, где

Геометрическая прогрессия при

;

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при равна:

Пример:

Ответ:

Предел числовой последовательности

Пусть – точка на прямой, а – положительное число. Тогда интервал называют окрестностью точки, а число – радиусом окрестности.

Число называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности этой точки содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. При этомвыполняется приближенное равенство и чем больше , тем ближе значение к числу , хотя самого числа bоно никогда не достигает. Обозначение: Читается:«ЧП сходитсяк» Читается:«ЧП стремитсяк» Читается:«Предел ЧП при стремлении кбесконечности равен » Читается:«Предел ЧП равен » Если последовательность не имеет предела, то она расходится. Графически, прямаяявляетсягоризонтальной асимптотойграфика функции .

Свойства сходящихся последовательностей

1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

2. Если последовательность сходится, то она ограниченна.

3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится.

Предел функции

Смысл предела функции тот же (при , ), что и для предела последовательности, но аргумент функции, в отличие от аргумента последовательности, может принимать отрицательные значения, что позволяет функции сходиться к двум пределам.

Обозначение

Если прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при, тоэто обозначается .
Если прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при, тоэто обозначается .
Если прямая является горизонтальной асимптотой графика функции как при, таки при , тоэто обозначается или .

Правилавычисления пределов функций

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Пределы некоторых видов функций

1. 

2. 

Приемы вычисления пределов функций

Для решения выражений вида , где и – многочлены применяют прием: делят и числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую степень переменной из имеющихся.

Пример:

Предел функции при приближении к точке

Предел функциипри приближении к точке на монотонном участке равен тому числу, которое должна принимать функция в точке для поддержания монотонности в этой точке. Т.е. для поддержания монотонности приращения и соответствующего .

Данное значение не имеет ни какого отношения к тому, как функция ведет себя в точке на самом деле.

Приближенное значение при приближении к пределу

Из определения (т.к. данный участок монотонен) следует, что если , то в достаточно малой окрестности точки выполняется приближенное равенство и чемближек, тем ближе значениек числу . При этом сама точка aисключается из рассмотрения.

Непрерывность функции в точке

Функция непрерывна в точке a, если в данной точке она определена, монотонна и ее значение совпадает с ожидаемым значением, вычисленным на основе монотонности, т.е. . На графике это отражается в отсутствии «проколов» в функции и ее плавном изменении без «скачков».

Пример: На рисунке предел функции в точке a равен b, т.к. именно это значение должна принимать функция для поддержания монотонности участка.На самом же деле функция принимает в этой точке иное значение и потому в этой точке она не монотонна. А т.к. в этой точке она не монотонна, хотя и определена, то функция имеет «прокол» в точке и потому не является непрерывной в этой точке.

Более полный пример:

Рисункам соответствуют три варианта поведения функции в точке a:

1. Первая функция не принимает значения в точке и потому не является непрерывной в этой точке. На графике это отражено в том, что функция имеет «прокол» в точке a.

2. Вторая функция принимает значение bв точке , но оно не совпадает со значением, из чего следует, что в этой точке функция не монотонна. Следовательно, она не является непрерывной в точке a. На графике это отражено в том, что функция имеет «скачок» в точке a.

3. Третья функция принимает значение bв точке , ионо совпадает со значением . Значит, функция непрерывна в точке a.

Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.