3.10. Алгебраїчні лінії другого порядку

1. Еліпс.

Означення. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок цієї площини (які називаються фокусами еліпса) є величина стала.

Рис. 3. 15

Н ехай точки F₁ і F₂ – фокуси еліпса, а М – його довільна точка. Тоді сума довжин F₁М і F₂М є величина стала для даного еліпса, позначимо її через 2а: F₁М + F₂М = 2а. Відстань F₁F₂ між фокусами еліпса позначимо 2с, очевидно с < а. Оберемо систему координат таким чином, щоб вісь Ох проходила через фокуси, а початком координат була середина відрізка F₁F₂ (рис. 3.15). Тоді координати фокусів еліпса будуть F₁( с; 0), F₂( с; 0). Координати поточної точки еліпса М позначимо ( х; у). За формулою відстані між двома точками

F₁М =, F₂М =.

Згідно з означенням еліпса точка М(х;у) належить до даного еліпса тоді і тільки тоді, якщо

+ = 2а. (3.47)

По суті це і є рівняння еліпса, але щоб переконатися, що перед нами алгебраїчна лінія 2 порядку, проведемо кілька перетворень.

Перенесемо другий радикал у праву частину і піднесемо обидві частини до квадрату:

= 2а –

(х + с)² + у² = 4а² – 4а+ (х – с)² + у²

х² + 2сх + с² + у² = 4а² – 4а+ х² –2сх +с² + у²

4а= 4а² – 4сх

а= а² – сх.

Знову піднесемо обидві частини до квадрату і проведемо спрощення:

а² (х² –2сх +с² + у²) = а⁴ – 2а²сх + с²х²

(а² – с²)х² + а²у² = а²(а² – с²).

Позначимо а² – с² = b² (а² – с² > 0, бо с < а) і поділимо обидві частини рівняння почленно на а²b²:

. (3.48)

Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпса. Можна довести, що воно еквівалентне рівнянню (3.47).

Розглянемо основні властивості еліпса, які випливають з його канонічного рівняння.

1. Еліпс є алгебраїчною лінією другого порядку.

2. Якщо точка М( х; у) належить до еліпса, то і точки М₁( –х; у), М₂( х; –у), М₃( –х; –у) теж належать до еліпса (тому що координати х і у входять у рівняння еліпса в парному степені). Це означає, що осі Ох і Оу є осями симетрії еліпса, а точка їх перетину – центром симетрії (рис. 3.15).

3. Оскільки і , то , , тобто еліпс – обмежена лінія.

4. Еліпс перетинає вісь абсцис у точках (–а;0) і (а;0), а вісь ординат – у точках (0;b) і (0;–b). Ці точки називаються вершинами еліпса. Величини а і b називаються відповідно великою і малою півосями еліпса.

Відношення

(3.49)

називають ексцентриситетом еліпса. Ексцентриситет характеризує ступінь сплюснутості еліпса. Якщо   0, то b  а, і ми одержуємо рівняння кола радіуса а:

або х² + у² = а²,

тобто коло можна розглядати як граничний випадок еліпса з нульовим ексцентриситетом. Якщо   1, то це означає, що b  0, тобто еліпс сплющується до відрізка  –а; а.

Прямі і , паралельні осі Оу, називають директрисами еліпса. Якщо позначимо через r₁ і r₂ відстані будь-якої точки еліпса від фокусів, а через d₁ і d₂ – відстані тієї ж точки від відповідних директрис (рис. 3.15), то мають місце рівності

. (3.50)

Рівності (3.50) є визначальними для еліпса, тобто еліпс можна визначити як множину точок площини, відношення відстані яких від даної точки (фокуса) до відстані від даної прямої (директриси) є стала величина  (0;1).

Відношення називається фокальним параметром еліпса. Легко бачити, що еліпс повністю визначається значеннями параметра p і ексцентриситету .

Справді

, звідки

, , тобто а і с однозначно виражаються через p і . Зазначимо, що відстань від фокуса до відповідної директриси дорівнює .

Рівняння

(3.51)

є рівнянням еліпса, центр якого міститься в точці .