3.9. Кут між двома прямими

1. Задано дві прямі (l₁) і (l₂). Потрібно обчислити кут між ними. Розглянемо два випадки, які відрізняються способом завдання прямих.

а) Прямі задані загальними рівняннями:

(l₁): А₁х + В₁у + С₁ = 0;

(l₂): А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Рис. 3. 13

З цих рівнянь маємо координати нормальних векторів прямих: = (А₁;В₁) і = (А₂;В₂), і кут між прямими можна знайти як кут між площинами у п.3.4 (рис. 3.13):

cos (l₁ˆl₂) = cos |(ˆ)| = = (3.37)

Умовою паралельності прямих є паралельність їх нормальних векторів, тобто пропорціональність координат цих векторів:

((l₁)║(l₂))  (║)  . (3.38)

Умовою перпендикулярності прямих є умова ортогональності їх нормальних векторів:

((l₁)(l₂))  ()  (= 0)  A₁A₂ + B₁B₂ = 0. (3.39)

б) Прямі задані канонічними рівняннями:

(l₁): ;

(l₂): .

З цих рівнянь маємо координати напрямних векторів прямих: = ( m₁; n₁) і = ( m₂; n₂), і кут між прямими можна знайти як у п.3.6:

cos (l₁ˆl₂) = cos |(ˆ)| = = (3.40)

Умовою паралельності прямих є паралельність їх напрямних векторів, тобто пропорціональність координат цих векторів:

((l₁)║(l₂))  (║)  . (3.41)

Умовою перпендикулярності прямих є умова ортогональності їх нормальних векторів:

((l₁)(l₂))  ()  (= 0)  m₁m₂ + n₁n₂ = 0. (3.42)

в) Прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом:

Рис. 3. 14

(3.43)

Тоді k₁ = tg α₁, k₂ = tg α₂, де α₁ і α₂ – відповідно кути нахилу прямих (l₁) і (l₂) до осі Ох (рис. 3.14). Знайдемо тангенс кута між прямими:

tg (l₁ˆl₂) = tg (α₂ – α₁) =

=.

В загальному випадку

tg (l₁ˆl₂) = . (3.44)

Умова паралельності очевидна: α₁ = α₂, звідки tg α₁ = tg α₂, отже

k₁ = k₂ . (3.45)

Умову перпендикулярності одержимо, переписавши рівняння (3.43) як загальні і скориставшись умовою (3.39) (де , , ):

k₁k₂ + 1 =0, звідки . (3.46)

Приклад 1. Знайти точку перетину двох прямих

(l₁): 5х – 2у + 16 = 0;

(l₂): 3х + у + 3 = 0.

Розв’язання:

Згідно з формулою (3.3) координати точки перетину, як спільної точки прямих (l₁) і (l₂) двох прямих, повинні задовольняти рівняння обох прямих, отже вони є розв’язком системи рівнянь:

Розв’язуючи цю систему, одержуємо х = –2; у = 3. Отже прямі (l₁) і (l₂) перетинаються в точці М(-2;3).

Приклад 2. Написати рівняння прямої (l₁), яка проходить через точку М₀(х₀;у₀) паралельно до заданої прямої (l).

Розв’язання:

а) Нехай пряму (l) задано загальним рівнянням

(l): 5х – 2у + 16 = 0, М₀(2;–3).

З рівняння прямої (l) знаємо її нормальний вектор = (5;–2). Оскільки шукана пряма (l₁)║(l) , то її нормальний вектор ║. Не обмежуючи загальності, можна взяти = = (5;–2). Залишається скористатись рівнянням прямої за точкою і нормальним вектором (3.31):

5(х – 2) – 2(у +3) = 0 або 5х – 2у – 16 = 0.

б) Нехай пряму (l) задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом:

(l): у = 3х – 2, М₀(–2;1).

Задана пряма (l) має кутовий коефіцієнт k = 3. Оскільки шукана пряма (l₁)║(l), то її кутовий коефіцієнт k₁ = k = 3. скориставшись рівнянням прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом (3.36), маємо відповідь

(l₁): у – 1 = 3(х + 2), або у = 3х + 7.

Приклад 3. Написати рівняння прямої (l₁), яка проходить через точку М₀(х₀;у₀) перпендикулярно до заданої прямої (l).

Розв’язання:

а) Нехай пряму (l) задано загальним рівнянням

(l): 3х + 4у – 11 = 0, М₀(2;6).

Нормальний вектор прямої (l) = (3;4). Оскільки шукана пряма (l₁)(l), то її напрямний вектор ║. Можемо взяти == (3;4). Тоді рівняння шуканої прямої (l₁) запишеться як рівняння прямої за точкою і напрямним вектором (3.32):

(l₁): , або 4х – 3у + 10 = 0.

б) Пряму (l) задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом:

(l): у = –2х + 5, М₀(3;–1).

Задана пряма (l) має кутовий коефіцієнт k = –2. Шукана пряма (l₁)(l), тому її кутовий коефіцієнт згідно з умовою перпендикулярності (3.46) дорівнює . Рівняння шуканої прямої (l₁) одержимо тепер як рівняння прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом (3.36):

(l₁): у + 1 = (х – 3), або х – 2у – 5 = 0.

Приклад 4. Знайти кут між прямими (l₁) і (l₂) .

Розв’язання:

а) Прямі задано загальними рівняннями:

(l₁): 2х – у + 8 = 0;

(l₂): 6х + 2у – 7 = 0.

Нормальні вектори прямих відповідно = (2;–1) і = (6;2). Кут між прямими знаходимо як кут між їх нормальними векторами за формулою (3.37):

cos (l₁ˆl₂) = = = = .

Отже кут

(l₁ˆl₂) = arccos= = 45.

б) Прямі задано рівняннями з кутовими коефіцієнтами:

(l₁): у = –3x + 5;

(l₂): у = –x – 2.

Кутові коефіцієнти прямих відповідно k₁ = –3, k₂ = –1. За формулою (3.44)

tg (l₁ˆl₂) = = = = .

Отже кут

(l₁ˆl₂) = arctg 2634.