3.8. Пряма на площині як алгебраїчна лінія першого порядку. Різні форми рівняння прямої на площині

Найбільш загальним виглядом рівняння алгебраїчної лінії першого порядку є

Ах + Ву + С = 0, (3.30)

де А, В, С – числа, при чому принаймні одне з чисел А і В не дорівнює нулю. Покажемо, що будь-яка пряма є лінією першого порядку, тобто рівняння будь-якої прямої можна записати у вигляді (3.30).

Рис. 3. 11

Нехай (l) – довільна пряма (рис. 3.11). Якщо пряму задано, то можна вказати яку-небудь точку М₀(х₀;у₀) на цій прямій і який-небудь ненульовий вектор = ( А; В), перпендикулярний до цієї прямої. Цей вектор називають нормальним вектором прямої (l). Очевидно будь-яка точка М(х;у) належить до прямої (l) тоді і тільки тоді, якщо вектор перпендикулярний до вектора , тобто якщо = 0. Виражаючи цю рівність через координати векторів = (А;В) і = (х – х₀;у – у₀), одержуємо рівняння прямої (l):

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0. (3.31)

Рівняння (3.31) називають рівнянням прямої за точкою і нормальним вектором. Це рівняння можна записати у вигляді

Ах + Ву – ( Ах₀ + Ву₀) = 0,

тобто у вигляді (3.30), якщо позначити

– ( Ах₀ + Ву₀) = С.

Пряма (l) узята цілком довільно. Отже, усяка пряма є алгебраїчною лінією першого порядку. В ході наших міркувань з’ясувалося, що в рівнянні (3.30) коефіцієнти А і В є не що інше, як координати нормального вектора прямої. Повторюючи наші міркування в зворотному порядку, читач легко переконається, що в свою чергу будь-яка алгебраїчна лінія першого порядку є пряма. Тому рівняння (3.30) називають загальним рівнянням прямої.

У різних задачах по-різному формулюються умови, які визначають задану або шукану пряму. Отже і форму рівняння цієї прямої доцільно обирати відповідно до умов задачі.

Рівняння прямої за точкою і напрямним вектором.

Нехай ненульовий вектор = (m,n) є напрямним вектором прямої (l), тобто він колінеарний до цієї прямої (║(l)) (рис. 3.9).

Нехай М₀(х₀;у₀) – будь-яка (фіксована) точка прямої (l). Всяка інша точка М( х; у) належить до прямої (l) тоді і лише тоді, коли вектори = ( х – х₀; у – у₀), і паралельні, отже їх координати пропорціональні (п. 2.4, формула (2.6)):

. (3.32)

Це рівняння, яке визначає пряму за точкою і напрямним вектором, називають також канонічним рівнянням прямої. Позначимо коефіцієнт пропорційності в рівнянні (3.32) через t:

, .

Звідси маємо:

(3.33)

Це – параметричні рівняння прямої (l). Коли параметр t змінюється від –∞ до +∞, точка, координати якої визначаються рівняннями (3.33), пробігає всю пряму (l).

Рівняння прямої за двома точками.

Нехай М₀(х₀;у₀) і М₁(х₁;у₁) – дві точки прямої (l). Тоді вектор = (х₁ – х₀;у₁ – у₀) лежить на цій прямій і є її напрямним вектором. На підставі формули (3.32) рівняння прямої (l) можна записати у вигляді

. (3.34)

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Рис. 3. 24

Я кщо , то розв’язуючи загальне рівняння прямої відносно у, можемо записати його у вигляді

у = kx + b, (3.35)

де ,

Це рівняння називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. У рівнянні (3.35) коефіцієнт k = tg α (рис. 3.12), де α – кут між додатним напрямом осі Ох і прямою (l), тому його й називають кутовим коефіцієнтом прямої. Вільний член b у рівнянні (3.35) є ордината точки перетину прямої з віссю Оу (рис. 3.12).

Якщо відомі координати точки М₀(х₀;у₀), яка лежить на прямій (l), то, підставляючи ці координати в рівняння (3.35), одержимо вірну рівність:

у₀ = kx₀ + b.

Віднімаючи почленно цю рівність від (3.35), отримуємо:

у – у₀ = k(х – x₀). (3.36)

Це – рівняння прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом.