3.2. Рівняння поверхні у декартових координатах. Рівняння лінії в просторі

Нехай у просторі задано деяку поверхню (S) і прямокутну декартову систему координат Оxyz.

Означення. Рівняння

(3.6)

називається рівнянням поверхні (S) у заданій системі координат, якщо його задовольняють координати будь-якої точки поверхні (S) і не задовольняють координати ніякої точки, яка не лежить на цій поверхні.

Таким чином ми розглядаємо поверхню (S) як множину точок простору, координати яких задовольняють рівняння (3.6), і кажемо, що це рівняння визначає поверхню (S).

Наприклад, рівняння

(3.7)

визначає сферу радіуса R з центром у точці С(а, b, c) (рис. 3.3).

Справді, точка М(x, y, z) належить до цієї сфери тоді і тільки тоді, якщо , тобто

, що еквівалентно

.

Означення. Поверхня, визначена рівнянням (3.6), називається алгебраїчною, якщо є многочлен від . Степінь цього многочлена називають порядком алгебраїчної поверхні.

Наприклад, сфера є алгебраїчною поверхнею другого порядку, як це випливає з її рівняння (3.7).

Усяка неалгебраїчна поверхня називається трансцендентною.

Лінію в просторі можна визначити як лінію перетину двох поверхонь, тобто як множину точок простору, які лежать і на одній і на другій поверхні. Координати таких точок задовольняють одночасно рівняння обох поверхонь. Якщо і – рівняння цих поверхонь в одній і тій же системі координат, то рівняння

(3.8)

є рівняннями даної лінії.

Наприклад, рівняння

(3.9)

визначають лінію перетину сфери і площини , тобто коло з центром на осі Оz, площина якого перпендикулярна до цієї осі і відтинає від неї відрізок, рівний 3 (рис. 3.4).

Зазначимо, що рівняння будь-якої лінії можна подати безліччю способів: замість двох даних поверхонь можна взяти будь-яку іншу пару поверхонь, що перетинаються по цій лінії, тобто замість системи (3.8) взяти будь-яку іншу систему, еквівалентну їй. Інший підхід до визначення лінії в просторі ґрунтується на розгляді лінії як траєкторії точки, що рухається в просторі за певним законом руху. Цей підхід приводить до визначення поточних координат точки лінії як функцій допоміжної змінної – параметра t:

(3.10)

Рівняння (3.10) називають параметричними рівняннями лінії.

Наприклад, коло, задане рівняннями (3.9), можна задати параметричними рівняннями:

(3.11)

Справді, підставляючи ці вирази у систему (3.9), бачимо, що при будь-якому t координати точки, визначені формулами (3.11), задовольняють рівняння системи (3.9):

3.3. Площина як алгебраїчна поверхня першого порядку. Різні форми рівняння площини

Найбільш загальне рівняння алгебраїчної поверхні першого порядку має вигляд

, (3.12)

де А, В, С, D – числа, при чому хоча б одне з чисел А, В, С, не дорівнює нулю.

П

M

окажемо, що алгебраїчні поверхні першого порядку є площини і тільки площини.

Н

O

ехай (Р) – довільна площина (рис. 3.5). Візьмемо яку-небудь точку на площині (Р) і який-небудь ненульовий вектор , перпендикулярний до площини. Такий вектор називається нормальним вектором площини (Р). Будь-яка точка лежить на площині (Р) тоді і тільки тоді, коли вектор і ортогональні, тобто · = 0. Виражаючи скалярний добуток через координати векторів і , одержимо рівняння площини (Р) у вигляді

. (3.13)

Це рівняння називають рівнянням площини за точкою і нормальним вектором.

Розкриємо дужки:

і позначимо . Одержимо рівняння вигляду (3.12):

.

Таким чином, будь-яка площина є алгебраїчною поверхнею першого порядку, а коефіцієнти А, В, С у рівнянні (3.12) є координатами нормального вектора площини.

В свою чергу легко показати, що будь-яке рівняння (3.12) є рівнянням площини. Нехай – яка-небудь трійка чисел, що задовольняє рівняння (3.12), тобто – вірна рівність. Віднімемо почленно цю рівність від (3.12) і одержимо рівняння, еквівалентне (3.13)

,

тобто рівняння площини, яка проходить через точку і має нормальний вектор . Тому рівняння (3.12) називають загальним рівнянням площини.

В деяких задачах виникає потреба знайти рівняння площини, яка проходить через три задані точки. Нехай точки , і не лежать на одній прямій (рис.3.6). Тоді вектори і лежать у площині (Р) = (М₀ М₁ М₂) і не колінеарні. Будь-яка точка простору належить до площини (Р) тоді і тільки тоді, коли вектори , , компланарні. А для компланарності трьох векторів необхідно і достатньо (п.2.8, формула (2.25)), щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю:

(;;) = 0.

Визначивши мішаний добуток через координати векторів, одержимо рівняння площини за трьома точками:

. (3.14)

Розкриваючи цей визначник за елементами першого рядка, одержимо рівняння площини у формі (3.13).

Приклад 1. Точка є проекцією точки на площину (Р). Написати рівняння цієї площини.

Розв’язання. За умовою задачі точка лежить на площині (Р), а вектор перпендикулярний до цієї площини, тобто є нормальним вектором площини (Р): . Значить рівняння площини (Р) можна написати як рівняння площини за точкою і нормальним вектором (3.13):

.

Розкриваючи дужки, отримуємо:

.

Приклад 2. Знайти площину, яка проходить через точку і паралельна площині (Р): .

Розв’язання. Шукана площина (Р₁) проходить через точку і паралельна до площини (Р₁), значить її нормальний вектор колінеарний нормальному вектору площини (Р). Можемо взяти

.

Тоді рівняння шуканої площини (Р₁) запишеться як рівняння площини за точкою і нормальним вектором (3.13):

, або

.

Приклад 3. Написати рівняння площини (Р), яка проходить через точку і перпендикулярна до площин

і

Розв’язання. Шукана площина (Р) перпендикулярна до площин (Р₁) і (Р₂), значить її нормальний вектор повинен бути ортогональним до кожного з нормальних векторів цих площин : і , де , .

Цій умові відповідає векторний добуток , отже можемо взяти

Тоді за формулою (3.13):

, або

.

Приклад 4. Написати рівняння площини (Р), яка проходить через точки , , .

Розв’язання. Знайдемо рівняння площини (Р) як рівняння площини за трьома точками (3.14):

.

Розкриваємо визначник за елементами першого рядка:

, або

.