3.11. Канонічні рівняння алгебраїчних поверхонь другого порядку

1. Еліпсоїд.

Означення. Еліпсоїдом називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат має канонічне рівняння вигляду

, (3.58)

де а, b, с – додатні числа, які називаються півосями еліпсоїда.

Основні властивості еліпсоїда, які випливають з його канонічного рівняння, можна встановити міркуваннями, подібними до проведених у п. 3.10:

1. Еліпсоїд є алгебраїчною поверхнею другого порядку.

2. Площини Оxy, Оxz, Оyz є площинами симетрії еліпсоїда, а початок координат – центром симетрії.

3. Еліпсоїд – обмежена поверхня, тому що .

4. Еліпсоїд перетинає осі координат у точках , , , , і . Ці точки називаються вершинами еліпсоїда.

Для уточнення вигляду еліпсоїда застосуємо метод перерізів, який полягає у розгляді ліній перетину даної поверхні площинами, паралельними координатним площинам Оxy, Оxz, Оyz.

Розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині Оxy. Рівняння такої площини має вигляд , а лінія, яку одержимо в перерізі, визначається рівняннями

Підставимо у рівняння еліпсоїда:

, або

,

тобто одержуємо рівняння еліпса з півосями і . При маємо еліпс з півосями а і b, при зростанні його півосі зменшуються, і при стануть рівними нулю, тобто еліпс вироджується в точку. При площина не перетинає еліпсоїду. Перерізи еліпсоїда площинами і дають аналогічні результати.

Якщо дві півосі однакові, наприклад , то в перерізі площинами отримуємо не еліпси, а кола. Тоді замість трьохосьового еліпсоїда маємо еліпсоїд обертання – поверхню, одержану обертанням еліпса навколо осі симетрії Оz. Якщо еліпс обертається навколо великої осі, одержуємо витягнутий еліпсоїд, якщо навколо малої – сплющений.

Якщо ж усі три півосі рівні між собою, то еліпсоїд перетворюється на сферу.

2. Однополий гіперболоїд.

Означення. Однополим гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат має канонічне рівняння вигляду

, (3.59)

де а, b, с – додатні числа, які називаються півосями гіперболоїда.

З рівняння (3.59) випливає:

1. Однополий гіперболоїд є алгебраїчною поверхнею другого порядку.

2. Площини Оxy, Оyz, Oxz є площинами симетрії, а початок координат – центром симетрії гіперболоїда.

3. Вершини гіперболоїда – точки його перетину з осями координат , , , . Вісь Оz він не перетинає.

Переріз однополого гіперболоїда площиною дає:

, або

, (3.60)

тобто еліпс з півосями і . При півосі цього еліпса дорівнюють а і b, при необмеженому збільшенні ці півосі теж необмежено зростають. Переріз площиною являє собою гіперболу

, або

при ,

і гіперболу

, або

при .

Якщо ж , то в перерізі отримуємо

, або ,

тобто пару прямих, які перетинаються:

і .

Аналогічну картину одержимо при перерізі однополого гіперболоїда іншими площинами, паралельними осі Oz (рис. 3.21).

На підставі розглянутих перерізів доходимо висновку, що однополий гіперболоїд має вигляд нескінченої трубки, яка необмежено розширюється в обидва боки в міру віддалення від площини Oхy і “зіткана” з прямих ліній, які лежать у площинах, паралельних осі Oz.

Ці прямі лінії називаються прямолінійними твірними однополого гіперболоїда.

У випадку а = b рівняння (3.60) визначають коло з центром на осі Oz, і ми маємо однополий гіперболоїд обертання, тобто поверхню, одержану обертанням гіперболи навколо її уявної осі.

3. Двополий гіперболоїд.

Означення. Двополим гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат має канонічне рівняння вигляду

, (3.61)

де а, b, с – додатні числа, які називаються півосями гіперболоїда.

Основні властивості двополого гіперболоїда:

1. Двополий гіперболоїд є алгебраїчною поверхнею другого порядку.

2. Площини Оxy, Оyz, Охz є площинами симетрії, а початок координат – центром симетрії гіперболоїда.

3. Вершини гіперболоїда – точки його перетину з віссю Оz , . Осі Ох і Оy він не перетинає.

Переріз площиною дає еліпс з півосями і , отже при перетину немає, при одержуємо точку, а при подальшому збільшенні – еліпс, розміри якого зростають необмежено при необмеженому зростанні . Лінії перетину з площинами і – гіперболи. Із сказаного випливає, що двополий гіперболоїд є поверхня, яка складається з двох окремих “порожнин” (дві поли), кожна з яких має вигляд нескінченної опуклої чаші (рис. 3.22).

У випадку а = b отримуємо двополий гіперболоїд обертання, утворений обертанням гіперболи навколо дійсної осі.