8.2 Метод перемещений

Идея метода перемещений состоит в том, что за неизвестные принимаются не силы, а угловые и линейные перемещения характерных точек системы: z₁, z₂, z₃,…,z_n.

Вместо понятия "статическая неопределимость" вводится понятие "кинематическая неопределимость". За степень кинематической неопределимости принимается сумма неизвестных угловых и линейных перемещений:

.

(12)

В плоских стержневых системах число неизвестных угловых перемещений равно числу незакрепленных в плоскости жестких узлов. Например, для рис. 24 а, , для рисунка 24 б, .

а) б) Рисунок 24 – Определение числа угловых перемещений

Число неизвестных линейных перемещений определяется следующим образом:

1 Мысленно в каждый жесткий узел врезается шарнир, после чего система становится геометрически изменяемой, то есть превращается в механизм;

2 На эту шарнирную систему накладывают минимальное количество связей, чтобы сделать ее геометрически неизменяемой;

3 Число наложенных в пункте 2 связей и будет количеством неизвестных линейных перемещений.

а) б)

Рисунок 25 – Определение числа линейных перемещений

Степень кинематической неопределимости системы на рис. 24 а, , системы на рисунке 24 б, .

Основная система в методе перемещений получается не отбрасыванием лишних связей, а наоборот введением дополнительных искусственных связей ликвидирующих неизвестное перемещение.

Рисунок 26 – Схема расстановки неизвестных перемещений

Степень кинематической неопределимости системы на рис. 26,

Для получения основной системы метода перемещений необходимо "ликвидировать" все неизвестные перемещения путем установки искусственных заделок во все незакрепленные узлы и установки шарнирных стерженьков для ликвидации линейных перемещений.

Рисунок 27 – Основная система метода перемещений

Применяемые здесь заделки отличаются от общепринятых в сопромате, а именно: они запрещают поворот узла, но не запрещают его линейных перемещений вдоль x и y.

Эквивалентная система метода перемещений получается путем сообщения (придания) искусственно наложенным связям соответствующих перемещений неизвестных.

Рисунок 28 – Эквивалентная система метода перемещений

Накладывается также условие, что стержни могут только изгибаться и не могут деформироваться в осевом направлении.

После придания искусственно наложенным связям неизвестных перемещений в них возникнут реакции.

8.2.1 Канонические уравнения метода перемещений

Их составляют из условия, что суммарные реакции в искусственно наложенных связях после их смещения на величину неизвестных перемещений и приложения внешних нагрузок должны быть равны нулю, так как в действительности этих связей нет.

Суммарные реакции

(13)

где R_i(z_j) - реакция в искусственно наложенной связи с индексом i от неизвестного перемещения с индексом j;

R_i(P) - реакция в искусственно наложенной связи с индексом i от внешних нагрузок.

Слагаемые в этих уравнениях, кроме последних, можно выразить как произведения реакций вызванных единичным перемещением на фактическую длину перемещения:

(14)

где r_ij - реакция в искусственно наложенной связи с индексом i от неизвестного перемещения с индексом j равного 1.

Подставив выражение (2) в уравнение (1) получим окончательный вид канонических уравнений метода перемещений:

(15)

где r_ij – коэффициенты канонических уравнений по методу перемещений, их физический смысл состоит в том, что они представляют собой реакции в искусственно наложенных связях от соответствующих единичных перемещений.

Слагаемые R_i(P) получили название свободные члены канонических уравнений метода перемещений, их физический смысл состоит в том, что они представляют собой реакции в искусственно наложенных связях от внешней нагрузки.

Для вычисления коэффициентов канонических уравнений и свободных членов используются готовые решения для балок с защемленными концами, которые приводятся в справочниках.

В общем случае расчет статически неопределимых систем по методу перемещений проводится в следующей последовательности:

1 Составляется заданная система, это исходная расчетная схема, она ничем не отличается от той что была в методе сил;

2 Путем наложения искусственных связей, ликвидирующих все неизвестные перемещения, получают основную систему метода перемещений;

3 Путем придания искусственно наложенным связям соответствующих перемещений и приложения внешней нагрузки получают эквивалентную систему метода перемещений;

4 Составляются канонические уравнения метода перемещений;

5 Вычисляются коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, при этом используются готовые решения для балок с защемленными концами из справочника;

6 Решают систему канонических уравнений, в результате чего вычисляют неизвестные перемещения;

7 Вычисленное перемещение пересчитывают в неизвестные силовые факторы (моменты, поперечные и продольные силы), при этом также обязательно используются готовые решения для балок с защемленными концами.