7 Определение усилий в стержнях плоских ферм при действии неподвижной нагрузки

В инженерной практике нашли применение два основных метода: графический и аналитический, возможен так же смешанный метод

.

7.1 Графический метод

В основу графических методов положены известные утверждения теоретической механики о том что, если твердое тело под действием внешних сил находится в равновесии, то многоугольник, построенный из векторов этих сил, должен быть замкнутым.

На практике возможны два графических метода:

1 Метод вырезания узлов (метод Кульмана)

Он заключается в мысленном вырезании узлов фермы, приложении к разрезанным стержням неизвестных усилий и построении замкнутого силового многоугольника. При этом есть обязательное требование, чтобы в вырезаемом узле было не более двух неизвестных по величине, но известных по направлению сил.

Метод Кульмана не нашел своего применения из-за громоздкости.

2 Метод Максвелла – Кремоны

Он основан на совмещении разрозненных многоугольников Кульмана в компактную диаграмму, что оказалось возможным благодаря наличию равных сторон в многоугольниках Кульмана построенных для соседних узлов. Эта диаграмма получила название диаграмма Максвелла – Кремоны.

При ее построении используется специальная система обозначений усилий, в виде индексов полей.

7.2 Аналитические методы

В строительной механике существует два аналитических метода:

1 Метод вырезания узлов;

2 Метод сквозного сечения.

Идея обоих методов состоит в том, что если из фермы путем мысленного разрезания выделить ее часть и в разрезанных стержнях приложить неизвестное усилие, то эта часть будет находиться в равновесии, а потому для нее можно записать 3 уравнения статики:

(4)

7.2.1 Метод вырезания узлов

Состоит в том, что из фермы последовательно, мысленно вырезаются узлы, разрезанные стержни заменяются неизвестными усилиями, составляются и решаются 2 первых уравнения статики:

(5)

Так же накладываются условия: начинать расчет надо с узла, в котором сходится не более 2-х стержней с неизвестными усилиями.

Метод не нашел практического применения из-за того, что ошибка допущенная в начале расчета будет проходить через весь расчет.

От этого недостатка свободен метод сквозного сечения.

7.2.2 Метод сквозного сечения

Метод сквозного сечения состоит в том, что ферму мысленно разрезают на две части, то есть проводят сквозное сечение. Это сечение проводят так, чтобы в разрез обязательно попал интересующий нас стержень, но всего не более трех стержней. После этого одну часть фермы отбрасывают и рассматривают равновесие оставшейся части, при этом к разрезанным стержням прикладывают три неизвестных усилия.

Вводится понятие моментная точка или точка Риттера.

Моментная точка – это точка пересечения осей двух стержней попавших в сечение усилия, в которых определяются во вторую очередь.

Рисунок 16 – Расчет ферма методом сквозного сечения

Пусть необходимо определить усилие N_5-8, N_5-7, N_6-8, Проводим сквозное сечение І-І (рис. 16), отбрасываем левую и рассматриваем правую часть усеченной части.

Рисунок 17 – Определение усилия в стержне N_5-8

Для стержня 5-8 моментная точка отсутствует. Определим усилие N_5-8 составив уравнение статики

;

Для усилий N_5-7 моментная точка будет в узле 8, так как в этой точке пересекаются N_5-8 и N_6-8, поэтому достаточно записать уравнение суммы моментов относительно моментной точки.

Усилие N_5-8 и N_6-8 момента не дадут из-за отсутствия плеча, то есть момент будет только от искомого усилия и реакции.

;

.

Аналогично для усилия N_6-8 моментная точка будет в узле 5.