11.1 Идея метода линий влияния
Идея метода линий влияния состоит в том, что задача определения искомого фактора при действии неподвижной нагрузки решается в 2 этапа. Под искомым фактором будут пониматься:
– опорные реакции;
– поперечные и продольные силы;
– изгибающие моменты в элементах сооружения.
Этапы решения:
I На первом этапе расчета не принимается во внимание не количество подвижных нагрузок, не их конкретные величины, не расстояние между ними (параметры «поезда»). Вся подвижная нагрузка заменяется одним безразмерным грузом;
Рисунок 37 – Замена системы подвижных сил единичной силой
Вводится новое понятие «линия влияния». Линией влияния искомого фактора X называется график зависимости этого фактора от координаты x положения единичного груза на сооружении. То есть, линия влияния – график некоторой функции:
.
Построением линии влияния заканчивается первый этап расчета.
II На втором этапе осуществляется возврат к фактическим нагрузкам, причем как к подвижным, так и неподвижным. Определяются искомые факторы от фактических нагрузок (подвижных, неподвижных, распределенных) с помощью линии влияния. При этом используется известный принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Искомый фактор получается умножением каждой фактической нагрузки на соответствующие ординаты линии влияния с последующим суммированием результата. При этом подвижную нагрузку делают неподвижной, но ее устанавливают в особое положение, так называемое, «расчетное положение».
Расчетным называют положение подвижной нагрузки, при котором искомый фактор получает наиболее неприятные значения.
11.2 Общий принцип построения линий влияния
Поскольку линия влияния это график, то для его построения необходимо каким-либо способом определить координаты нескольких точек (для прямой линии достаточно 2-х точек). Для этого составляется аналитическая зависимость искомого фактора от координаты единичного груза на сооружении в виде формулы (1), для чего используются методы теоретической механики.
Рассмотрим этот принцип на конкретных сооружениях для конкретных искомых факторов.
11.3 Построение линий влияния опорных реакций, поперечных сил и изгибающих моментов для простых балок
Рисунок 38 – Линии влияния для простых балок
Линии влияния опорных реакций
Для получения аналитических зависимостей опорных реакций RA и RB от координаты x воспользуемся уравнениями равенств нулю суммы моментов всех сил относительно опор B и A.
;
.
;
;
;
.
В этих формулах x имеет первую степень, а потому и графики будут прямые линии (см. рис. 38).
Линии влияния поперечной силы
Из сопромата известно, что поперечная сила в данном сечении балки, есть сумма проекций всех сил, взята по одну сторону от сечения, на перпендикуляр в данном сечении к нейтральной оси балки. При этом поперечная сила имеет знак плюс, когда она поворачивает балку относительно данного сечения по часовой стрелке и знак минус при повороте против часовой стрелки.
Для получения аналитического выражения рассмотрим 2 случая:
1 Единичный груз находится справа от сечения c. Проецируем на перпендикуляр все силы слева:
;
.
2 Единичный груз слева от сечения, проецируем все силы справа от сечения:
;
.
Линии влияния изгибающего момента
Для получения аналитического выражения изгибающего момента также существует 2 случая:
1 Груз справа
;
.
2 Груз слева
;
.
Таким образом, ординаты линии влияния изгибающего момента определяются путем умножения ординат линии влияния соответствующих опорных реакций на постоянные коэффициенты a и b. На графике величины a и b откладываются в принятом масштабе длины, где a и b расстояние до сечения c, заданного, от левой и правой опоры соответственно.