8 Применение статически не определимых упругих систем в качестве расчетных схем инженерных сооружений
Статически не определимыми называют такие упругие системы, в которых число неизвестных опорных реакций и внутренних силовых факторов превышает число уравнений статики (для плоских систем 3, а пространственных 6).
Эти избыточные неизвестные получили название "лишние неизвестные". Их появление обусловлено тем, что на систему наложены "лишние связи".
Лишними называют связи, которые наложены на систему сверх минимально необходимых для геометрической неизменяемости и неподвижности закрепления.
В расчетных схемах металлоконструкций ПТСДМ чаще всего применяются следующие неопределимые системы:
1 Балки на многих опорах, так называемые "неразрезные балки"
Рисунок 20 – Балка на многих опорах
2 Фермы на многих опорах
Рисунок 21 – Ферма на многих опорах
3 Шпренгельные балки
Рисунок 21 – Шпренгельная балка
4 Фермы имеющие "лишние стержни" в решетке
Рисунок 22 – Ферма с "лишними стержнями" в решетке
5 Статически неопределимые рамы
Рисунок 23 – Статически неопределимая рама
В зависимости от того, какие факторы принимаются за неизвестные в строительной механике, разработаны три метода:
– метод сил;
– метод перемещений;
– смешанный метод.
8.1 Метод сил
Этот метод подробно изучался сопротивлением материалов, поэтому рассмотрим его отдельные, основные положения.
За неизвестные в этом методе принимаются силы (опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы). Для определения неизвестных усилий составляются и решаются канонические уравнения метода сил.
Идея метода состоит в отбрасывании лишних связей и их замене неизвестными усилиями. Так если мы имеем "n" неизвестных усилий, которые обозначим через усилия x1, x2, x3, … , xi, … , xn, то канонические уравнения метода сил будут иметь вид:
|
|
(8) |
Физический смысл каждого из этих уравнений состоит в том, что суммарное перемещение по направлению любой отброшенной связи от неизвестных усилий и внешних нагрузок равны 0, потому что в действительности это суммарное перемещение является невозможным, ибо в его направлении наложена связь.
Входящие в эти уравнения коэффициенты получили название коэффициенты канонических уравнений метода сил, они также имеют физический смысл перемещений по направлению отброшенных связей, но от неизвестных приравненных к единице.
Например, δij – представляет собой перемещение в отброшенной связи с индексом i от усилия равного единице с индексом j.
Свободные члены канонических уравнений также представляют собой перемещение по направлениям отброшенных связей, но от внешних нагрузок.
Например, ΔiP - перемещение по направлению отброшенной связи с индексом i от внешней нагрузки Р.
Расчет по методу сил выполняется в следующей последовательности:
1 Составляется исходная расчетная схема, которая в методе сил получила название "заданная система".
2 Выбирается так называемая основная система путем отбрасывания лишних связей. В зависимости от того какие связи принимаются за лишние для одной и той же заданной системы может быть несколько основных систем. Основная система всегда статически определима.
3 В замен отброшенных связей прикладывают неизвестные опорные реакции и внутренние силовые факторы. После этого основная система превращается в так называемую "эквивалентную систему".
4 В эквивалентной системе заменяют неизвестные усилия на соответствующие единичные усилия.
5 Последовательно строятся эпюры от каждой введенной в пункте 4 единичной силы. Число единичных эпюр будет равно числу неизвестных.
6 Строятся эпюры силовых факторов от заданной нагрузки.
7 Перемножая по правилу Верещагина соответствующие эпюры от единичных сил между собой вычисляют коэффициенты канонических уравнений.
8 По тому же правилу Верещагина перемножается эпюра от внешней нагрузки на соответствующие эпюры от единичных сил, в результате чего вычисляются свободные члены канонических уравнений.
9 Составляются и решаются канонические уравнения метода сил, в результате чего получаем неизвестные усилия: x1, x2, x3, … , xn.
10 Неизвестные пересчитывают в эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. При этом используются уже имеющиеся эпюры от единичных сил и внешней нагрузки.
Функции изгибающих моментов, поперечных и продольных сил во всех стержнях определяются по формулам:
|
|
(9) (10) (11) |
;
;
,
где M(x), Q(x), N(x) - функции изгибающего момента, поперечной и продольной силы в зависимости от продольной координаты х (результатирующей функции);
M(xi=1), Q(xi=1), N(xi=1) - функции изгибающего момента, поперечных и продольных сил в зависимости от координаты x от единичных усилий;
M(P), Q(P), N(P) - функции изгибающего момента, поперечной и продольной силы в зависимости от координаты x от внешних нагрузок.