Тема 8. Визначений інтеграл
Література: [4], с.218-226, с. 347-360, [5], с.263-275, с.277-285,[6], т.1, с.380-411.
1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.
2. Означення визначеного інтеграла. Умови існування.
3. Властивості визначеного інтеграла.
4. Інтеграл із змінною верхнею межею.
Приклад.
Знайти похідну за змінною х інтеграла
.
5. Формула Ньютона–Лейбница.
Приклад.
Обчислити
.
6. Методи обчислення визначених інтегралів: заміною змінної, частинами.
Приклад
1.
Обчислити методом заміни
змінної
.
Приклад 2. Обчислити методом інтегрування частинами:
1)
,
2)
.
7. Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач геометрії та фізики.
Вказати формули застосувань
а) до геометричних задач (знаходження площ криволінійної трапеції, плоскої області, довжини дуги, об’єм тіла обертання та його площі поверхні);
б) обчислення середніх значень функції;
в) до фізичних задач (шлях S, який пройде тіло із швидкістю v(t) за час T, сумарний електричний заряд Q, зосереджений з густиною q(x) на [a, b], обчислення діючих значень напруги і струму електричних коливань за період Т).
8. Невластиві інтеграли з нескінченними межами інтегрування. Невластиві інтеграли від необмежених функцій.
Приклад. Обчислити або встановити розбіжність інтегралів:
1)
;
2)
.
Розділ 5 Звичайні диференціальні рівняння
Тема 9. Диференціальні рівняння першого порядку
Література: [4], с.421-438, [5], с.294-321, [6], т.2, с.15-38, 63-70, 72-95.
1. Загальні поняття, приклади і задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.
2. Диференціальні рівняння першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку диференціального рівняння першого порядку.
3. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними.
Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння
.
4. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння
.
5. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Приклад. Знайти розв’язок задачі Коші:
; 
.
6. Розв’язати задачу.
Швидкість втрати електричного заряду ізольованого провідника внаслідок недосконалості ізоляції пропорційна заряду, що є в даний момент. В початковий момент провідник мав заряд (250+N) CGSE і за перші дві хвилини втратив 100 CGSE. Визначити, через скільки хвилин заряд провідника буде дорівнювати половині початкового.
Тема 10. Диференціальні рівняння вищих порядків
Література: [4], с.451-466, [5], с.294-321, [6], т.2, с.15-38, 63-70, 72-95.
1. Основні поняття і означення. Задача Коші.
2. Диференціальні рівняння, які дозволяють зниження порядку.
Приклади. Знайти загальні розв’язки рівнянь
1)
;
2)
;
3)
.
3. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку і властивості його розв’язків. Визначник Вронського.
4. Теорема про структуру загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння.
5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.
6. Розв’язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння методом варіації довільних сталих. Принцип суперпозиції розв’язків.
7. Лінійні однорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами другого порядку.
Приклади. Знайти загальний розв’язок рівнянь
1)
;
2)
;
3)
.
8. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами другого порядку. Рівняння із спеціальною правою частиною.
Приклад. Знайти розв’язок задачі Коші:
.