3. Зміст семестрового контролю
(Перелік екзаменаційних завдань)
на 1 семестр
Розділ 1
Вступ до математичного аналізу
Тема 1. Вступ до курсу та дисципліни. Комплексні числа
Література: [1], с.171-194, [2], с. 86-124, 213-224, [6], с.13-27, с.31-60.
1. Комплексні числа. Основні поняття та означення. Зображення на площині. Форми запису комплексних чисел.
Приклад 1. Для комплексного числа:
визначити:
,
,
.
Зобразити
число
на комплексній площині.
Приклад
2.
Записати
комплексне число
в алгебраїчній, геометричній та
показниковій формі.
Приклад
3.
Для
заданого комплексного числа
записати
.
Зобразити числа
і
на комплексній площині.
2. Дії з комплексними числами у різних формах запису.
а) рівність двох комплексних чисел;
б) алгебраїчна сума;
в) добуток та частка;
г) піднесення до степеня;
д) добування кореня з комплексного числа.
Приклад
1.
Для заданих комплексних чисел
,
визначити:
,
,
.
Приклад
2.
При яких значеннях сталих
числа
,
рівні (
)?
Приклад
3.
Обчислити
,
, де
.
Тема 2. Множини. Функції. Границя функції
Література: [1], с.171-194, [2], с. 86-124, 213-224, [4], с. 126-130, [5], с. 141-154.
1. Поняття множини. Операції над множинами. Числові множини. Множина дійсних чисел. Абсолютна величина дійсного числа та її властивості.
Приклад
1. Для числових
множин
і
визначити: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Приклад
2.
Визначити абсолютну величину чисел:
;
;
.
Приклад 3. Розв’язати рівняння:
1)
;
2)
.
Приклад 4. Розв’язати нерівності:
1)
;
2)
;
.
2. Сталі та змінні величини. Поняття функції. Способи завдання. Найпростіші властивості функцій.
3. Основні елементарні функції. Виписати основні елементарні функції, їх властивості та графіки.
4. Гіперболічні функції, їх властивості.
5. Функції, задані неявно. Обернені функції. Функції, задані параметрично
6. Поняття границі змінної величини. Поняття границі функції в точці. Односторонні границі.
7. Нескінченно великі та нескінченно малі величини, їх властивості. Порівняння нескінченно малих величин.
8. Основні теореми про границі.
9.
Перша та друга визначні границі, наслідки.
Число
.
Натуральні логарифми.
Приклади. Обчислити границі:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
; 5)
.
10. Неперервність функції, точки розриву та їх класифікація.
Приклад
1.
Дослідити на неперервність функцію
в точках
,
.
Побудувати схематичний графік функції
в околі цих точок.
Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію
в
точках
,
.
Побудувати її графік.
Розділ 2 Диференціальне числення функцій однієї змінної
Тема 3. Похідна функції однієї змінної
Література: [1], с. 200-209, с.215-229, [4], с. 191-216; [6], с. 68-115, с.153-187.
1. Означення похідної. Геометричний, механічний та фізичний зміст похідної. Диференційованість і неперервність.
2. Правила диференціювання. Похідні елементарних функцій.
3. Похідна складеної функції.
Приклади.
Обчислити похідні
:
1)
; 5)
;
2)
; 6)
;
3)
; 7)
.
4)
;
4. Похідна неявної функції та функції, що задана параметрично. Логарифмічне диференціювання.
Приклади.
Обчислити похідні
функцій:
1)
; 2)
3)
4);
5)
.
5. Означення диференціала. Геометричний та механічний зміст диференціала. Властивості диференціала, застосування до наближених обчислень.
Приклади. Обчислити наближено:
1)
;
3)
;
2)
;
4)
,
при
.
6. Похідні вищих порядків. Похідні вищих порядків неявно та параметрично заданої функції. Диференціали вищих порядків.
Приклад
1.
Обчислити
та
:
1)
;
2)
; 3)
Приклад
2.
Обчислити
та
функцій:
1)
;
2)
; 3)
.
Приклад
3.
Точка рухається прямолінійно за законом
.
Визначити швидкість та прискорення в
кінці першої хвилини (
розраховується в метрах, час
– в хвилинах).
7. Основні теореми диференціального числення. Теореми Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа. Формули Тейлора, Маклорена. Правило Лопіталя.