Тема 4. Застосування диференціального числення до дослідження функцій
Література: [1], с.200-209, с.215-229, [4], с.226-266, [6], с.68-115, с.153-187.
1. Дослідження функції на монотонність. Екстремуми функцій.
Приклад. Визначити інтервали монотонності та екстремуми функцій.
1)
; 2)
.
2. Найбільше і найменше значення функції.
Приклад.
Визначити найбільше та найменше значення
функції
на відрізку
.
3. Напрям опуклості та точки перегину графіка функції. Асимптоти графіка функції.
Приклад 1. Визначити інтервали опуклості та точки перегину графіка функції:
1) 
;
2) 
.
Приклад 2. Визначити асимптоти графіка функції:
1)
; 2)
.
4. Схема дослідження функції і побудова її графіка.
Приклад. Дослідити методами диференціального числення функції 1) з прикладу 1 п. 3 і 2) з прикладу 2 п. 3.
Розділ 3 Диференціальне числення функцій багатьох змінних
Тема 5. Функція багатьох змінних, її границя,
Неперервність та диференційованість
Література: [1], с. 239-249, с. 253-257, [4], с.284-307, [6], с. 243-258, с. 280-293.
1. Поняття функції багатьох змінних. Область визначення.
Приклад. Визначити область визначення функцій:
1)
;
2)
;
3)
.
2. Границя та неперервність функції багатьох змінних.
3. Частинні похідні функції багатьох змінних. Диференційованість.
Приклад.
Обчислити
,
функцій:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
4. Повний диференціал та його застосування.
Приклад. Обчислити наближено:
1)
;
2)
;
3)
.
5. Диференціювання складеної функції. Повна похідна. Диференціювання неявно заданої функції.
6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків.
Приклад.
Обчислити
і
функцій:
1)
;
3)
;
2)
;
4)
.
Тема 6. Деякі застосування частинних похідних
Література: [1], с. 239-249, с. 253-257, [4], с.309-327, [6], с. 243-258, с. 280-293.
1. Екстремуми функції двох змінних.
Приклади. Визначити екстремуми функцій:
:
;
:
;
:
;
:
;
:
;
:
;
:
;
:
;
:
;
:
.
2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.
3. Умовний екстремум.
Розділ 4 Інтегральне числення функцій однієї змінної
Тема 7. Невизначений інтеграл
Література: [4], с.218-226, с. 347-360, [5], с.235-260, [6], т.1, с.335-370.
1. Первісна та невизначений інтеграл.
2. Властивості невизначеного інтеграла.
3. Таблиця основних інтегралів.
4. Основні методи інтегрування: метод безпосереднього інтегрування, метод заміни змінної (підстановки), частинами.
Приклад 1. Знайти інтеграл методом безпосереднього інтегрування
.
Приклади 2. Знайти інтеграли методом підстановки (заміни змінної)
1)
;
2)
.
Приклади 3. Знайти інтеграли методом інтегрування частинами:
1)
; 2)
.
5.
Многочлен
-го
степеня. Раціональна функція. Розкладання
раціональних функцій на елементарні.
Інтегрування елементарних раціональних
функцій. Алгоритм інтегрування
раціональних функцій.
Приклади. Знайти інтеграли
1)
;
2)
.
6. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції.
Приклади. Знайти інтеграли
1)
;
2)
;
3)
.
7. Інтегрування деяких ірраціональних функцій.
Вказати
підстановку для інтегрування
ірраціональностей виду
,
де a
та b
– дробові раціональні числа.
Приклад.
Знайти інтеграл 
.