8. Ізоморфізм та гомоморфізм алгебр
Означення.
Дві алгебри
і
називаються ізоморфними,
якщо існує взаємно однозначне лінійне
відображення (ізоморфізм)
векторного простору
на векторний простір
,
яке зберігає операцію множення, тобто
таке, що для будь-яких елементів
Очевидно,
що існування ізоморфізму
рівносильне тому, що в алгебрах
і
можна вибрати базиси з однаковими
таблицями множення.
Ізоморфні алгебри, як правило, ототожнюються. Кажуть, що алгебри вивчаються "з точністю до ізоморфізму".
Приклади ізоморфізму алгебр.
1)
Ізоморфізм алгебри лінійних операторів
в
-вимірному
векторному просторі
і алгебри всіх квадратних матриць
порядку
з елементами з поля
алгебру
,
який отриманий зіставленням оператору
його матриці в фіксованому базисі.
2) Алгебра
над полем
всіх наборів
,
ізоморфна алгебрі
всіх діагональних матриць.
Означення.
Дві алгебри
і
називаються гомоморфними,
якщо існує взаємно однозначне лінійне
відображення (гомоморфізм)
векторного простору
на векторний простір
,
яке зберігає операцію множення і одиницю,
тобто таке, що для будь-яких елементів
,
і
,
де
– одиниця алгебри
,
– одиниця алгебри
.
Означення.
Зображенням
скінченновимірної алгебри
над полем
в скінченновимірному просторі
над полем
називається гомоморфізм алгебри
в алгебру лінійних операторів
(автоморфізми) простору
,
тобто
відображення, яке задовольняє умовам:
для будь-яких
,
1)
;
2)
;
3)
;
4)
,
де
– тотожний оператор.
Означення.
Матричним
зображенням
степеня
скінченновимірної алгебри
над полем
називається гомоморфізм алгебри
в алгебру
квадратних матриць порядку
.
Приклад.
1)
Гомоморфізм алгебри комплексних чисел
в алгебру квадратних матриць порядку
2 вигляду
,
є матричним зображенням алгебри
.