- •Лекція 5 Тема: Векторні простори. Алгебри
- •2. Поняття, приклади і найпростіші властивості векторного простору
- •3. Лінійна залежність системи векторів. Базис і розмірність векторного простору Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду
- •4. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом
- •2) Розкладемо вектор за базисом :
- •Розв’язуючи цю систему будь-яким способом, знайдемо
- •4. Векторні простори із скалярним добутком
- •5. Підпростори векторного простору
- •6. Лінійний оператор та його матриця
- •6. Поняття алгебри. Приклади алгебр
- •8. Ізоморфізм та гомоморфізм алгебр
5. Підпростори векторного простору
Означення. Непорожня підмножина векторного простору називається підпростором простору , якщо воно є векторним простором відносно операцій, визначених в .
Це означає, що множина задовольняє аксіомам векторного простору, якщо додавати його елементи і множити їх на числа з поля (над яким заданий векторний простір ) так, як це визначено для елементів простору .
Теорема (критерій підпростору). Непорожня підмножина векторного простору є підпростором простору оді і тільки тоді, коли виконується наступні умови:
-
Якщо , то ;
-
Якщо , то .
Кожний підпростір будь-якого векторного простору саме по собі є векторним простором. тому всі поняття, які були введені для просторів (розмірність, базис та ін.) розповсюджуються і на підпростори.
Теорема (про розмірність підпростору). Розмірність будь-якого підпростору векторного простору не більше розмірності простору.
Приклади підпросторів.
1) Множина , яка містить тільки нульовий елемент є підпростором будь-якого векторного простору. Його називають нульовим підпростором. В нульовому підпросторі нема лінійно незалежних систем векторів. Його базис – порожня множина. Його розмірність вважають нульовою.
2) Будь-який векторний простір є своїм підпростором.
Нульовий підпростір і сам простір звичайно називають невласними підпросторами.
3) В арифметичному числовому векторному просторі множина , , векторів вигляду є підпростором.
4) Векторний простір многочленів з коефіцієнтами з поля є підпростором векторного простору функцій, неперервних на відрізку , якщо многочлени вважати заданими на відрізку .
5) У векторному просторі геометричних векторів підпросторами будуть вусі площини і всі прямі, що проходять через початок координат.
6) Лінійні оболонки є цікавим прикладом підпростору. Нехай – довільна система векторів простору . Множина всіх векторів, які є лінійними комбінаціями векторів системи є підпростором простору , який позначається і називається лінійною оболонкою векторів , або підпростором, натягнутим на вектори .
6. Лінійний оператор та його матриця
Означення. Лінйним оператором у векторному просторі називається відображення векторного простору в себе → таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):
1) ;
1) ;
Лінійний оператор називається також лінійним перетворенням векторного простору . Лінійні перетворення є гомоморфізмами.
З означення безпосередньо випливають наступні
Найпростіші властивості лінійного оператору:
1) Образом нуль-вектора є нуль-вектор: .
2) Образом вектора, протилежного довільному вектору є вектор, протилежний образу вектора :
3) Образом лінійної комбінації довільних векторів простору є лінійна комбінація (з тими ж коефіцієнтами) образів цих векторів:
Приклади лінійних операторів:
1) →: – нульовий оператор. Позначається .
2) →: – тотожний (одиничний) оператор. Позначається .
3) → – поворот площини навколо початку координат на кут в додатному напрямку.
4) → – ортогональне проектування векторів на деяку площину.
5) Нехай – векторний простір функцій, диференційованих на всій числовій прямій. Розглянемо перетворення простору , яке кожній функції ставить у відповідність її похідну, тобто . За властивостями похідної 1) і
2) .
Таким чином, диференціювання – лінійний оператор в .
6) Нехай – векторний простір числових рядків, – матриця порядку з дійсними елементами. Перетворення простору , яке кожному вектору ставить у відповідність вектор , координати якого визначаються за формулою , тобто є лінійним оператором.
Нехай у векторному просторі заданий деякий базис .
Означення. Матрицею лінійного оператора в базисі називається матриця
,
елементами якої є коефіцієнти в розкладі образів векторів за базисом , тобто
;
;
………………………………………..
.
З означення випливає, що стовпцями матриці є координатні рядки векторів , , в базисі .
Приклади.
1) Матрицею тотожного оператора є одинична матриця: ,
2) Матрицею нульового оператора є нульова матриця .
При фіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна матриця -го порядку – матриця цього лінійного оператора . Справедливе і обернене: кожна матриця -го порядку є матрицею певного лінійного оператора простору в базисі .
У координатному вигляді дія лінійного оператора на вектор зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпчик вектора :
.
Ясно, що матриця оператора залежить від вибору базису простору .