5. Підпростори векторного простору

Означення. Непорожня підмножина векторного простору називається підпростором простору , якщо воно є векторним простором відносно операцій, визначених в .

Це означає, що множина задовольняє аксіомам векторного простору, якщо додавати його елементи і множити їх на числа з поля (над яким заданий векторний простір ) так, як це визначено для елементів простору .

Теорема (критерій підпростору). Непорожня підмножина векторного простору є підпростором простору оді і тільки тоді, коли виконується наступні умови:

1. Якщо , то ;

2. Якщо , то .

Кожний підпростір будь-якого векторного простору саме по собі є векторним простором. тому всі поняття, які були введені для просторів (розмірність, базис та ін.) розповсюджуються і на підпростори.

Теорема (про розмірність підпростору). Розмірність будь-якого підпростору векторного простору не більше розмірності простору.

Приклади підпросторів.

1) Множина , яка містить тільки нульовий елемент є підпростором будь-якого векторного простору. Його називають нульовим підпростором. В нульовому підпросторі нема лінійно незалежних систем векторів. Його базис – порожня множина. Його розмірність вважають нульовою.

2) Будь-який векторний простір є своїм підпростором.

Нульовий підпростір і сам простір звичайно називають невласними підпросторами.

3) В арифметичному числовому векторному просторі множина , , векторів вигляду є підпростором.

4) Векторний простір многочленів з коефіцієнтами з поля є підпростором векторного простору функцій, неперервних на відрізку , якщо многочлени вважати заданими на відрізку .

5) У векторному просторі геометричних векторів підпросторами будуть вусі площини і всі прямі, що проходять через початок координат.

6) Лінійні оболонки є цікавим прикладом підпростору. Нехай – довільна система векторів простору . Множина всіх векторів, які є лінійними комбінаціями векторів системи є підпростором простору , який позначається і називається лінійною оболонкою векторів , або підпростором, натягнутим на вектори .

6. Лінійний оператор та його матриця

Означення. Лінйним оператором у векторному просторі називається відображення векторного простору в себе → таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):

1) ;

1) ;

Лінійний оператор називається також лінійним перетворенням векторного простору . Лінійні перетворення є гомоморфізмами.

З означення безпосередньо випливають наступні

Найпростіші властивості лінійного оператору:

1) Образом нуль-вектора є нуль-вектор: .

2) Образом вектора, протилежного довільному вектору є вектор, протилежний образу вектора :

3) Образом лінійної комбінації довільних векторів простору є лінійна комбінація (з тими ж коефіцієнтами) образів цих векторів:

Приклади лінійних операторів:

1) →: – нульовий оператор. Позначається .

2) →: – тотожний (одиничний) оператор. Позначається .

3) → – поворот площини навколо початку координат на кут в додатному напрямку.

4) → – ортогональне проектування векторів на деяку площину.

5) Нехай – векторний простір функцій, диференційованих на всій числовій прямій. Розглянемо перетворення простору , яке кожній функції ставить у відповідність її похідну, тобто . За властивостями похідної 1) і

2) .

Таким чином, диференціювання – лінійний оператор в .

6) Нехай – векторний простір числових рядків, – матриця порядку з дійсними елементами. Перетворення простору , яке кожному вектору ставить у відповідність вектор , координати якого визначаються за формулою , тобто є лінійним оператором.

Нехай у векторному просторі заданий деякий базис .

Означення. Матрицею лінійного оператора в базисі називається матриця

,

елементами якої є коефіцієнти в розкладі образів векторів за базисом , тобто

;

;

………………………………………..

.

З означення випливає, що стовпцями матриці є координатні рядки векторів , , в базисі .

Приклади.

1) Матрицею тотожного оператора є одинична матриця: ,

2) Матрицею нульового оператора є нульова матриця .

При фіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна матриця -го порядку – матриця цього лінійного оператора . Справедливе і обернене: кожна матриця -го порядку є матрицею певного лінійного оператора простору в базисі .

У координатному вигляді дія лінійного оператора на вектор зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпчик вектора :

.

Ясно, що матриця оператора залежить від вибору базису простору .