3. Лінійна залежність системи векторів. Базис і розмірність векторного простору Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду

. (1)

де – деякі числа з поля (коефіцієнти лінійної комбінації). Якщо вектор записаний у вигляді (1), то кажуть, що він розкладений за системою векторів , або що він лінійно виражається через вектори .

Означення. Система векторів векторного простору називається лінійно залежною, якщо існують числа , які не всі водночас дорівнюють нулю (), такі що

(2)

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо остання рівність виконується тільки в одному випадку , коли

Теорема. (про лінійну залежність векторів)

Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших.

Приклади лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.

1) У векторному просторі комплексних чисел вектори і утворюють лінійно незалежну систему.

2) В арифметичному числовому векторному просторі система одиничних векторів , ,…, лінійно незалежна.

3) У векторному просторі геометричних векторів будь-які чотири вектори лінійно залежні, а будь-які три некомпланарні вектори лінійно незалежні.

Аналогічно, у векторному просторі будь-які три вектори лінійно залежні, а будь-які два неколінеарні вектори лінійно незалежні.

4) У векторному просторі всіх многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами многочлени лінійно незалежні.

5) У векторному просторі всіх неперервних функцій дійсної змінної на числовій прямій система функцій , , 1 лінійно залежна, оскільки

.

(Як відомо, функція 1 є лінійною комбінацією функцій і :

).

Означення. Впорядкована система векторів називається базисом векторного простору , якщо

1) вона лінійно незалежна;

2) кожен вектор простору лінійно виражається через вектори цієї системи, тобто .

Отже, базис – це максимальна система лінійно незалежних векторів.

Зауваження. Якщо в базисі змінити порядок векторів, то отримаємо інший базис, хоч він і складається з тих самих векторів. Ясно, що для даного простору базис можна вибрати не єдиним чином.

Приклади базисів.

1) У векторному просторі комплексних чисел вектори і утворюють базис, оскільки вони лінійно незалежні і довільне комплексне число лінійно через них виражається.

2) В арифметичному числовому векторному просторі система одиничних векторів , ,…, утворює базис.

3) У векторному просторі геометричних векторів будь-які три некомпланарні вектори утворюють базис. Зокрема, базис утворює трійка ортів .

Аналогічно, у векторному просторі будь-які два неколінеарні вектори утворюють базис. Зокрема, базис утворює пара ортів .

У векторному просторі базис утворює будь-який вектор, напрям якого збігається з напрямом осі.

4) У векторному просторі всіх многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами многочлени утворюють базис, оскільки вони лінійно незалежні і довільний многочлен -го степеня може бути виражений у вигляді

.

Означення. Векторний простір називається -вимірним, якщо в ньому існує базис з елементів. Число називається розмірністю простору і позначається . Простір скінченної розмірності називається скінченновимірним. Простір, в якому можна знайти будь-яке число лінійно незалежних векторів називається нескінченновимірним.

Отже, розмірність векторного простору – це максимальне число лінійно незалежних векторів цього простору.

Приклади.

1) =3, =2.

2) .

3) =2.

4) Векторний простір функцій, визначений на числовій прямій, нескінченновимірний.

Теорема (про зв'язок між базисом і розмірністю). Система векторів утворює в просторі розмірності базис тоді і тільки тоді, коли вона лінійно незалежна, а число векторів в ній дорівнює розмірності простору .