6. Поняття алгебри. Приклади алгебр

Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається векторний простір , в якому визначена алгебраїчна операція множення векторів, причому виконані наступні умови (аксіоми алгебри):

1. – асоціативність множення;

2. – дистрибутивність справа відносно додавання векторів;

– дистрибутивність зліва відносно додавання векторів;

3. – дистрибутивність відносно множення на число.

Позначається або просто .

Можна дати інше означення алгебри, яке використовує поняття кільця:

Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається кільце з одиницею, яке водночас є векторним простором над полем .

При цьому аксіома 3 зв'язує множення на елементи з поля з множенням в кільці.

Розмірність векторного простору називається розмірністю алгебри . Алгебра буде скінченновимірною або нескінченновимірною в залежності від того, скінченновимірний або нескінченновимірний векторний простір .

Зафіксуємо в векторному просторі деякий базис . Тоді множення векторів , однозначно визначається заданням добутків базисних векторів. Дійсно:

.

Розкладемо вектори за базисом :

.

Ми бачимо, що структура алгебри на векторному просторі з фіксованим базисом цілком визначається набором елементів поля , . Ці елементи називаються структурними константами алгебри .

З асоціативності множення базисних векторів випливає, що для будь-яких

.

Навпаки, з останнього співвідношення випливає асоціативність множення базисних векторів.

Елемент алгебри називається одиницею алгебри, якщо для будь-якого елемента .

Приклади алгебр.

1) Множина дійсних чисел із звичайними операціями додавання і множення є алгеброю.

2) Множина комплексних чисел з операціями додавання і множення комплексних чисел є двовимірною алгеброю над полем . Множення векторів однозначно визначається заданням добутків базисних векторів . Ці добутки зручно задавати у вигляді таблиці:

.
		–1

3) Розглянемо -вимірний арифметичний векторний простір над полем , тобто множину наборів , , з покоординатним додавання і множенням на числа з . Визначимо в ньому операцію множення покоординатно:

.

Ця операція перетворює -вимірний арифметичний векторний простір над полем в алгебру над полем .

4) Множина всіх квадратних матриць порядку з елементами з поля утворює алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення матриць. Алгебра є скінченновимірною розмірності .

5) Сукупність всіх многочленів від змінної з коефіцієнтами з поля відносно операцій додавання і множення многочленів утворює нескінченновимірну алгебру.

6) Якщо – векторний простір над полем , то лінійні оператори (автоморфізми) в просторі утворюють алгебру . Ця алгебра є скінченновимірною або нескінченновимірною в залежності від того, скінченновимірним або нескінченновимірним є векторний простір .

7) Розглянемо векторний простір над полем з базисом . Визначимо в ньому операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:

.
		–1
			–1
				–1

Легко перевірити, що таким чином утворюється алгебра над полем . Ця алгебра називається алгеброю кватерніонів. Історично це є один з перших прикладів алгебр.

Чотиривимірна алгебра кватерніонів в деякому розумінні унікальна. Вона була відкрита ірландським математиком і механіком У. Гамільтоном, який поставив собі проблему побудувати алгебру, елементи якої мають всі властивості комплексних чисел. Для кватерніонів дійсно виконуються всі властивості комплексних чисел, крім одного – операція множення кватерніонів некомутативна.

8) Нехай задана деяка група і векторний простір . Визначимо в ньому операцію множення за допомогою таблиці множення елементів групи. Таке множення задає структуру алгебри, яка називається груповою. Позначається .