§ 5.5 Квадратичные формы Определение 1. Квадратичной формой от n переменных называется однородная функция второго порядка вида

,

где - числовые коэффициенты.

Любую квадратичную форму (или квадратичную функцию) можно преобразовать таким образом, чтобы ее коэффициенты были симметричными.

Пример. Пусть задана квадратичная форма

f(x₁,x₂,x₃)= x₁² – 2x₃² + 4x₁x₂ – 2x₁x₃ + x₂x₃ или

f(x₁,x₂,x₃)= x₁x₁–2x₃x₃+2x₁x₂+2x₂x₁–x₁x₃-x₃x₁ +0.5x₂x₃ +0.5x₂x₃

где коэффициенты при переменных:

а₁₁ = 1, а₁₂ = 2, а₁₃ = -1, а₂₁ = 2, а₂₂ = 0,

а₂₃ = 0.5, а₃₁ =-1, а₃₂ = 0.5, а₃₃ = 2.

Коэффициенты квадратичной формы представимы в виде симметрической матрицы

Верно и обратное утверждение - любая симметрическая матрица однозначно определяет квадратичную форму. Будем считать, что квадратичная форма уже представлена симметричной матрицей А.

Запишем квадратичную форму матрично-векторном виде .

Пример. Заданы вектора , Х^Т =(х₁,х₂,х₃)и матрица А, то

=(х₁,х₂,х₃)=.

Напомним, что линейным невырожденным преобразованием переменных называется преобразование, выражающее систему переменных {x} через переменные {y}

. . . . . . . . . . или

где: , P – матрица преобразования.

Так как detP  0, то существeет преобразование от у к х.

Теорема 1. Линейное невырожденное преобразование переменных вида Х = РУ приводит квадратичную форму к квадратичной форме от переменных {y} с матрицей В = .

Доказательство. Очевидно, что

=

Покажем, что матрица = В симметрична:

.

Из условия В = следует, что А = (Р^Т)^-1В(Р^-1).

Пример. f(x₁,x₂)= x₁² + x₁x₂ + x₂² , матрица Р = ,тогда

х₁ = y₁ + y₂

Х = РУ или х₂ = y₁ – y₂

f(y₁,y₂)=(y₁ + y₂)²+(y₁ + y₂)(y₁-y₂)+(y₁-y₂)²= 3y₁² + y₂²

Новой квадратичной форме отвечает матрица =

Заметим, что полученный результат полностью соответствует выводам § 4.5 предыдущей главы.

§ 5.6 Диагональная квадратичная форма Определение 1. Квадратичная форма вида

(1)

С диагональной матрицей коэффициентов называется диагональной. При этом вид (1) называется каноническим видом квадратичной формы.

В примере предыдущего параграфа было использовано одно невырожденное преобразование, позволившее привести форму к диагональной форме. К сожалению, одного преобразования бывает не достаточно.

Благодаря одному из приведенных ранее свойств невырожденных преобразований - произведение двух и более невырожденных преобразований будет невырожденным преобразованием - можно производить несколько невырожденных преобразований для получения диагональной формы.

Теорема 1. (Лагранжа) Для любой квадратичной формы существует последовательность линейных невырожденных преобразований, приводящее исходную форму к каноническому виду

.

Такое приведение можно осуществлять бесконечным числом способов, т.е. существует бесконечно много преобразований, приводящих одну и ту же форму к диагональному виду. При этом коэффициенты при квадратах в диагональной форме определены не однозначно. Однако при всем этом выполняется общая закономерность.

Закон инерции квадратичной формы:

Если вещественная квадратичная форма вещественными неособенными линейными преобразованиями переменных приведена двумя способами к диагональному виду, то в обоих случаях число положительных коэффициентов, число отрицательных коэффициентов и число нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных одно и то же.

Иными словами, процедура сведения квадратичной формы к диагональному виду не зависит от конкретного линейного невырожденного преобразования.

Более удобной для практических вычислений является не просто невырожденное, а так называемое ортогональное преобразование.

Определение 4. Линейное невырожденное преобразованием переменных называется ортогональным (ортонормированным) преобразование, если матрица преобразования ортогональна (ортонормированная).

Заметим, что если матрица преобразования ортогональна, то она является невырожденной и само преобразование является невырожденным преобразованием. Верна следующая теорема, являющаяся определенным аналогом теоремы 4 § 4.5

Теорема 3. Каждая вещественная квадратичная форма с матрицей А при помощи некоторого ортогонального преобразования Р может быть приведена к диагональному виду. Причем коэффициенты при квадратах новых переменных с точностью до порядка при номерах новых переменных определены исходной формой однозначно: они совпадают с корнями характеристического многочлена матрицы А. Столбцы ортогональной матрицы преобразования Р являются собственными столбцами матрицы А, соответствующими ее собственным числам.

Пример. Задана квадратичная форма 13х₁² + 10х₁х₂ + 13х₂². Для приведения формы к диагональному виду рассмотрим характеристическое уравнение (13 - )² = 25 и решая его, получим: ₁= 18, ₂ = 8. Этим собственным числам отвечают собственные векторы х₁ = (а , а), х₁ = (b , -b). Подставляя вместо a, b любые числа, например «1», и нормируя эти вектора, получим: , а сама форма будет: 8y₁² + 18y₂²