- •Глава 1 Матрицы и определители
- •§ 1.1. Матрицы и их основные виды
- •§ 1.2. Линейное пространство
- •§ 1.3 Элементарные операции над матрицами
- •§ 1.4 Произведение матриц
- •Примеры: 1) .
- •§ 1.5 Специальные матрицы и их свойства
- •§ 1.6 Определитель n-го порядка
- •§ 1.7 Свойства определителей
- •§ 1.8 Взаимная и обратная матрица
Глава 1 Матрицы и определители
§ 1.1. Матрицы и их основные виды
Определение 1. Вещественной матрицей (прямоугольной) размерности m x n называется совокупность mn вещественных чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.
Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n называется ее порядком.
Для обозначения матриц приняты прописные латинские буквы, а для обозначения элементов матриц - строчные:
.
Здесь - элемент матрицы ,стоящий в строке с номером и в столбце с номером .
Определение 2. Две матрицы А и В одинаковой размерности m x n называются равными, если при всех .
Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы - побочную (второстепенную) диагональ квадратной матрицы.
Матрицу, состоящую из одного столбца, называют матрицей-столбцом высоты m и обозначают. Матрицу, состоящую из одной строки, называют матрицей-строкой длины n и обозначать .
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается .
Отметим специальные виды квадратных матриц:
-
Квадратная матрица называется верхней треугольной матрицей, если при , т.е. все элементы, расположенные ниже главной диагонали равны нулю.
-
Квадратная матрица называется нижней треугольной матрицей, если при , т.е. все элементы, расположенные выше главной диагонали равны нулю.
-
Квадратная матрица, у которой при , называется диагональной. Если у диагональной матрицы , то она называется скалярной. И, наконец, если в скалярной матрицы , то она называется единичной матрицей и обозначается символом I.
-
Квадратная матрица А называется симметрической, если аij=aji ij
-
Квадратная матрица А называется обратно симметрической, если выполнены условия: элементы аii = 1 i и аij = 1/aji ij.
-
Квадратная матрица А называется кососимметрической, если выполнены условия: элементы аii = 0 I и аij = -aji ij.
Определение 3. Матрица размерности n x m называется транспонированной по отношению к матрице размерности m x n, если .
Это определение означает, что столбцы матрицы становятся строками транспонированной матрицы и обратно. Заметим, что для симметрических А квадратных матриц выполнено: А = АТ
Определение 4. Прямоугольная матрица А вида называется верхней трапециевидной. По аналогии определяется нижняя трапециевидная
Матрицу можно разбить системой вертикальных и горизонтальных прямых на части, которые при этом рассматриваются как матрицы низших порядков и называются блоками или клетками матрицы . Сама матрица, элементами которой служат блоки, называется блочной или клеточной матрицей. Общая запись блочной матрицы имеет вид
,
где - клетка-матрица, расположенная в i-ой клеточной строке и j-ом клеточном столбце.
§ 1.2. Линейное пространство
Определение 1. Совокупность объектов, связанных общим свойством , называют множеством и обозначают А = { a ai ak }
Определение 2. Множество чисел К, в котором определены четыре арифметические операции и выполнены все соответствующие свойства этих операций называют полем.
Поля образовывают рациональные, вещественные или комплексные числа. Мы будем рассматривать только поле К вещественных чисел.
Определение 3. Пусть задано множество М, для всех элементов которого определены две операции:
-для любых А, В из М сумма А + В принадлежит М
-для любого А из М и k из К произведение kA принадлежит М
и для этих операций выполняются следующие свойства:
1. Для любых А, В из М выполнено А + В = В + А
2. Для любых А, В, С из М выполнено (А + В) + С = А + (В + С)
3. Для любого А из М найдется «О» из М, что выполнено А + О =А
4. Для любого А из М найдется «-А» из М, что выполнено А+(-А)=0
5. Для любого А из М и , из К выполнено ( + )А = А + В
6. Для любых А, В из М и из К выполнено (А + В) = А + В
7. Для любых А, В из М и , из К выполнено ()А = (А)
8. Для любого А из М найдется 1, что выполнено 1А = А
то множество М называется линейным пространством над полем К.
Замечание.
1). Множество всех функций , определенных и непрерывных на сегменте , образует линейное пространство, еслисложение таких функций и умножение их на вещественные числа определяются по обычным правилам математического анализа.
2). Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей фиксированного натурального числа n, с операциями, определенными по обычным правилам операций над многочленами, образует линейное пространство.