- •Глава 1 Матрицы и определители
- •§ 1.1. Матрицы и их основные виды
- •§ 1.2. Линейное пространство
- •§ 1.3 Элементарные операции над матрицами
- •§ 1.4 Произведение матриц
- •Примеры: 1) .
- •§ 1.5 Специальные матрицы и их свойства
- •§ 1.6 Определитель n-го порядка
- •§ 1.7 Свойства определителей
- •§ 1.8 Взаимная и обратная матрица
§ 1.6 Определитель n-го порядка
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.
Определение 1. Определителем матрицы размерности 1х1 (матрица состоит из одного элемента ), называется само число .
Для записи определителя используется обозначение или .
Определение 2. Определителем второго порядка матрицы
А=размерности 2х2 называется число ==.
Для определения определителя 3-го порядка запишем две матрицы:
рис. 1 рис. 2
Определение 3. Определителем третьего порядка называется число, образованное тремя слагаемыми, каждое из которых является произведением элементов, стоящих на главной диагонали и главных треугольников, взятые со знаком плюс ( рис. 1) и тремя слагаемыми, каждое из которых является произведением элементов, стоящих на второстепенной диагонали и второстепенных треугольников, взятые со знаком минус (рис. 2), т.е. выражение
(1)
Для того, чтобы ввести определение определителя n-го порядка необходимо ответить на три вопроса:
-
Сколько сомножитель в слагаемых определителя n-го порядка
-
Сколько всего слагаемых в определителе n-го порядка
-
По какому принципу ставятся знаки « + и - »
Из определения определителей 2 и 3 порядка видно, что число сомножителей определяется порядком матрицы, для которой вычисляется определитель. Причем легко заметить, что сомножители берутся по одному с каждого столбца и каждой строки.
Пример. В определителе 4-го порядка может быть слагаемое вида
а11а24а32а43, но не может быть слагаемого а11а24а33а43, т.к. из третьего столбца взято два элемента.
Для ответа на второй вопрос введем определение
Определение 4. Перестановкой n-ого порядка называется любое упорядоченное расположение чисел 1, 2, 3,..., n.
Например, две перестановки второго порядка будут (1,2) и (2,1).
Перечислим перестановки третьего порядка, рассмотрев индексы столбцов в слагаемых определителя третьего порядка (заметим, что все первые индексы –строк - упорядочены и постоянны – 1, 2, 3).
Для первых 3-х членов формулы (1)– перестановки (1 2 3), (2 3 1) и (3 1 2), для следующих 3-х членов – (3 2 1), (1 3 2) и (2 1 3).
Легко заметить, что на первом месте в перестановке может находиться любое из n чисел, тогда на втором будет находиться уже любое из (n-1) оставшихся чисел, на третьем (n-2) и т.д. Итак, число перестановок будет равно произведению n(n-1)(n-2) 21.
Лемма. Число всех перестановок n-ого порядка равно n!=1234...n
Следовательно, число перестановок третьего порядка равно 3!=123=6, что и определяет 6 слагаемых в определителе 3-го порядка, число слагаемых определителя матрицы 4- го порядка равно 24, 5-го порядка – 120 и т.д.
Для ответа на третий вопроса также понадобится определение.
Определение 5. Говорят, что пара чисел и в перестановке n-ого порядка образуют беспорядок (или инверсию), если при выполняется неравенство .
Число всех инверсий в перестановке будем обозначать символом .
Примеры
-
В перестановке пятого порядка (5 1 2 3 4) только пары чисел
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4) образуют инверсии, поэтому .
2) Очевидно, что .
Определение 6. Если число инверсий в перестановке четно, то перестановка называется четной, иначе – нечетной (0 инверсий считают четной перестановкой).
Определение 7. Операция перехода от одной перестановки к другой, при которой два числа меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией.
Отметим очевидные свойства транспозиций.
-
От произвольной перестановки можно перейти к любой другой при помощи нескольких последовательно выполненных транспозиций.
-
При выполнении одной транспозиции перестановка переходит в перестановку противоположного наименования, т.е. четная перестановка в нечетную и обратно.
-
При четном числе транспозиций перестановка переходит в перестановку того же наименования, а при нечетном числе транспозиций – в перестановку противоположного наименования.
Пример. Рассмотрим перестановке (3,2,5,4,7,6,1). Найти минимальное число транспозиций для перехода к перестановке (1,2,3,4,5,6,7). Легко видеть, что число транспозиций равно 3.
(3,2,5,4,7,6,1)(5,2,3,4,7,6,1)(5,2,3,4,1,6,7)(1,2,3,4,5,6,7)
Легко заметить, что в формуле (1) перестановки (1 2 3), (2 3 1) и (3 1 2) четные и перед слагаемыми стоят знаки «+», а перестановки (3 2 1), (1 3 2) и (2 1 3) – нечетные и перед слагаемыми стоят знаки « - ».
Определение 7. Определителем n-ого порядка матрицы называется алгебраическая сумма n! слагаемых :
(2)
в каждом из которых по n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Знаки слагаемых определяются четностью или нечетностью перестановки.