Глава 4 Теория линейных операторов

§ 4.1 Линейные операторы в конечномерных пространствах

Определение 1. Линейным оператором , действующим в n-мерном координатном евклидовом пространстве над полем К, называется такое отображение , что

1. Область определения есть пространство

2. Множество значений принадлежит пространству

(иными словами, каждому вектору ставится в соответствие определенный вектор

3. Для любых векторов и любого числа из поля К выполняются равенства:

(аддитивное свойство);

(свойство однородности).

При этом используют следующую терминологию: вектор называют образом вектора при данном отображении (или результатом действия линейного оператора на вектор ), вектор называют прообразом вектора .

Фактически линейный оператор можно рассматривать, как векторную функцию, заданную на пространстве со значениями в (сама в себя). Оператор называется линейным потому, что в силу свойств аддитивности и однородности линейно зависимые вектора под действием этого оператора переходят в также линейно зависимые вектора. Очевидно, что нулевой вектор переходит в нулевой.

Из сказанного выше следует, что под действием линейного оператора прямые переходят в прямые, параллельные в параллельные, плоскости в плоскости и т.д. При этом длины отрезков, величины углов, вообще говоря, не сохраняются.

Примерами линейных операторов в R² являются: поворот вокруг начала координат, растяжение или сжатие в направлении какой-либо прямой, проходящей через начало координат и т.д.

Механизмом, реализующим действие линейного оператора , является его матричное представление.

Пусть в пространстве фиксирован некоторый базис . Возьмем произвольный вектор



и его разложение базису Е.

Рассмотрим действие оператора по отношению к векторам .

Разложение вектора по базису имеет вид:

f₁=,

f₂=, (1)

. . . . . . . . . . . .

f_n=.

Определение 2. Матрицей линейного оператора в базисе Е называют квадратную матрицу (n x n)

в k-ом столбе которой записаны коэффициенты разложения по базису Е.

Иными словами, под воздействием оператора базисный вектор переходит в новый вектор, причем коэффициенты разложения этого нового вектора по базису Е являются столбцами матрицы линейного оператора. Равенство (1) переводит векторы Е, составляющие базис пространства, в систему векторов F, причем полученные вектора остаются в исходном базисе Е. Эту операцию можно записать в матричном виде

F= или ,

где = F - матрица-строка, состоящая из образов базисных векторов E.

§ 4.2 Основные теоремы о линейных операторах

Теорема 1. Если определитель матрицы линейного оператора отличен от нуля, то система векторов F= будет новым базисом в евклидовом пространстве, порождаемым оператором .

Доказательство следует из свойств линейно независимых систем и определения базиса.

Пусть в пространстве даны два произвольных базиса и . Используя полученные выше результаты, разложим элементы 2-го базиса по 1-ому:

или в матричной форме .

Матрицу оператора будем называть базисной матрицей (матрица перехода от первого базиса ко второму базису ). Принято использовать обозначение .

Разложим любой вектор по выбранным базисам :

(1),

где и - вектор-столбцы координат данного вектора в первом и во втором базисах соответственно. Так как определитель базисной матрицы отличен от нуля, то справедливы формулы (проверяется подстановкой в (1) )

(2),

которые называются формулами преобразования координат вектора при преобразовании базиса ( при переходе от старого к новому базису).

Пример.

1. Пусть - базис в Е³ и заданы векторы . Доказать, что вектора образует базис и найти разложение вектора по этому базису.

Решение. Матрица , составленная из столбцов координат векторов в базисе , является невырожденной, и, следовательно, векторы являются линейно независимыми и также образуют базис. При этом матрица является матрицей перехода от базиса к базису .

По формуле (2) , то искомое разложение .

Теорема 2. Если переход от базиса к базису , осуществляется по формуле , где - базисная матрица, то матрицы операторов _e и _f в базисах E и F находят по формулам:

или (3).

Доказательство. Теорема имеет наглядный геометрический смысл. Рассмотрим два базиса E и F в R²

Y_f

X_e A_e

P_ef

Y_e

Система с базисом E Система с базисом F

Последовательность действий можно записать равенствами:

А_eX_e = Y_e, P_ef(Y_e)= Y_f или P_ef(A_e)=Y_f

С другой стороны, последовательность операций можно поменять

X_f

X_e

A_f

P_ef Y_f

Система с базисом е Система с базисом f

или

P_efX_e = X_f, А_fX_f = Y_f или А_f(P_ef) = Y_f

и приравнивая левые части двух операций, получим требуемое:

P_efA_e = А_fP_ef или и .

где Р^-1 - базисная матрица P_fe при переходе от базису к базису (является обратной к P_ef).

Пример.

1.Задан оператор _е с матрицей и матрица перехода от базиса к базису . Вычислить матрицу оператора и найти образ вектора в базисе двумя способами.

Решение. Находим матрицу, обратную к Р: . Находим матрицу оператора : = .

Тогда == и Р_ef() = = .

С другой стороны, Р_ef(== и = .