§ 5.3 Уравнение прямой в r3
Рассмотрим прямую с вектором А0А в R3 и коллинеарный ему вектор p(k,l,m)(направляющий вектор). Если точки А0 и А заданы координатами: А0 (x0,y0,z0) , A(x, y, z), то из условия
коллинеарности А0А и p можно записать:
А
(1)
А0 р(k,l,m)
Выражение (1) называют каноническим уравнением прямой в пространстве.
Если
ввести параметр t
такой, что
,
то получим параметрическое уравнение
прямой в R3:
х = x0 + kt, y = y0 + kt, z = z0 + kt (2)
Заметим, что прямая в R3 всегда является пересечением двух плоскостей L1 и L2 . Тогда:
L1 отвечает уравнение A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
L2 отвечает уравнение A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
с нормалями n1(A1, B1, C1) n2(A2, B2, C2). Вектор р(k,l,m) является направляющим для прямой , причем выполнены очевидные условия р n1 , p n2 или (р ,n1) = 0, (p, n2) = 0
Из условия р n1 , p n2 следует, что направляющий вектор р является векторным произведением [n1 x n2] = p или
n2
n1
р
Тогда координаты направляющего вектора р(k,l,m) равны:
Подставив
в уравнение
вместо k,
l,
m
их миноры, получим требуемое.
Рассмотри взаимное расположение прямых и плоскостей в R3.
1.Взаимное расположение двух прямых 1 и 2:
Пусть
заданы:1:
,
р2:
Условие
параллельности:
,
условие перпендикулярности: k1k2+ l1l2+ m1m2 = 0
2. Взаимное расположение прямой и плоскости L:
Пусть
заданы: :
,
L:
Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0,
Условие параллельности: Ak + Bl + Cm = 0,
условие
перпендикулярности:
3. Угол между прямой и плоскостью L:
n
COS
=sin(900-)=sin
,
sin
=
р
Все полученные результаты обобщаются на векторное пространство произвольной размерности. Например, каноническое уравнение прямой в Rn будет иметь вид:
(х1 – х01)/A1 = (х2 – х02)/A2= …= (хn – х0n)/An
где:(х01,х02…,х0n)и(х1,х2…,хn)–координаты точек Р0 и Р прямой ,
(A1 ,A2, …,An ) – координаты нормали р.
§ 5.4 Примеры задач на прямую и плоскость в r3
-
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Даны три точки А1(x1,y1,z1), А2(x2,y2,z2), А3(x3,y3,z3) в плоскости L. Рассмотрим точку А(x,y,z) и три вектора
а = А1А(х-х1, у-у1,z-z1),
b = А1А2(х2-х1, у2-у1,z2-z1),
c = А1А3(х3-х1, у3-у1,z3-z1)
Так как три вектора расположены в плоскости (компланарные), то их смешанное произведение равно нулю:
+
=0
2. Уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельную двум прямым.
Даны точка А0(x0,y0,z0) и прямые 1(k1,l1,m1), 2(k2,l2,m2).
р1
р2
1
2
А0
А
Так вектора р1, р2 и А0А расположенных в одной плоскости, то
искомое уравнение выразится через векторное произведение
3. Уравнение плоскости, проходящей через 2 точки и перпендикулярную плоскости L.
Даны точки А0(x0,y0,z0), А1(x1,y1,z1) в плоскости L1 и плоскость L2 с нормалью n(A,B,C).
L2
n
A
L1
L
А0
А1
Три вектора (АА0, АА1, n) лежат в одной плоскости. Тогда
искомое уравнение выразится через векторное произведение
