§ 5.9 Уравнение поверхностей второго порядка

Определение 1. При n = 3 уравнение (2) § 5.8 называют уравнением поверхностью второго порядка в R³ и имеет вид

Ф(x₁x₂x₃)=Ax₁²+Bx₂²+Cx₃²+2Dx₁x₂+2Ex₁x₃+2Fx₂x₃+2Gx₁+2Hx₂+2Kx₃+L (1)

Поверхности 2-го порядка отвечает симметричная матрица вида

.

Верно и обратное утверждение – каждой симметричной матрице 4-го порядка отвечает единственная поверхность 2-го порядка. Определитель такой матрицы называют главным дискриминантом поверхности 2-го порядка.

Так как выражение (1) представляет собой сумму квадратичной и линейной формы, то используя теорему Лагранжа получаем результат

Теорема С помощью элементарных невырожденных преобразований любое уравнение поверхности 2-го порядка в надлежащей системе координат приводится к одному из двух видов

Ф(у₁у₂y₃)=ау₁²+ by₂²+ сy₃²+ d или Ф(у₁у₂y₃)=ау₁²+ bу₂²+ 2cy₃

При этом, в зависимости от значений полученных коэффициентов уравнения могут описывать либо алгебраические, конические и цилиндрические поверхности, либо две плоскостям (пересекающимся, параллельным или совпадающим).

Для того, чтобы поверхность второго порядка сводилась к 2-м

плоскостям необходимо и достаточно, чтобы главный дискриминант поверхности 2-го порядка был равен нулю. При этом получают уравнения следующих видов:

1. у₁² + y₂² = 0 - одна прямая в пространстве

2. у₁² - y₂² = 0 - две пересекающиеся плоскости

3. у₁² = 1 - две параллельные плоскости

Примеры 1. Кривая задана уравнением х₁² + 2х₁ – 1 = 0

Полагая х₁ = y₁ + a₁ получим

(y₁ + a₁)² + 2(y₁ + a₁)–1=0

При а = -1 получаем (y₁ - 1)² + 2(y₁ - 1)–1=0 или

y₁² = 2 - две параллельные плоскости

2. Кривая задана уравнением х₁² + х₂² + 2х₁ – 4х₂ = 0

Полагая х₁ = y₁ – 1, х₂ = y₂ + 2 получим

(y₁ - 1)² + (y₂ + 2)²+ 2(y₁ - 1)–4(y₂ + 2)=0

Преобразовывая последнее выражение, получим

y₁² + y₂² = 0 – одна прямая в пространстве

Классификация поверхностей 2-го порядка.

Эскиз

1. Алгебраические поверхности

Эллипсоид

Однополосный гиперболоид

Двухполосный гиперболоид

2. Конические поверхности

Конус

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

3. Цилиндрические поверхности

Эллиптический цилиндр

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр