§4. Алгебраїчний метод розв'я­зування геометричних задач на побудову

Цей метод є універсальним при розв'язуванні задач на побудову. У тих задачах, де задано відрізки, відношення відрізків і кути, кожен з останніх завжди можна замінити заданням трьох відрізків, що є сторонами певного три­кутника з кутом, рівним даному. Відношення відрізків завжди можна подати двома відрізками. У такий спосіб усі дані умови геометричної задачі зводимо до певної мно­жини відрізків . Шукані елементи задачі також виражаємо через відрізки . Потім, користу­ючись геометричними залежностями (теоремами, аксіо­мами), властивими шуканій фігурі, втановлюємо зв'язки між вказаними відрізками і записуємо їх за допомогою рівнянь.

Розв'язавши ці рівняння, знайдемо у вигляді алгебраїчних виразів, складених з величин , які потрібно побудувати за допомогою лінійки і циркуля чи інших вибраних інструментів.

Під і зручно розуміти також довжини відповідних відрізків при вибраній одиниці вимірювання.

Виконавши вказані побудови, можна побудувати шу­кану фігуру, тобто розв'язати задачу.

У цьому полягає суть алгебраїчного методу розв'я­зання задачі на. побудову, а найбільш чітким і послідовним його виразником є метод координат.

Серед позитивних рис методу є такі:

а) формули, що визначають шукані відрізки (через дані відрізки) дозволяють повніше дослідити отриману від­повідь, зокрема визначити умови існування розв'язків за­дачі, їх кількість, деякі характерні особливості і навіть

узагальнити задачу

б) користуючись алгебраїчним, методом, можна зводити різні геометричні задані до розв'язування: і дослідження алгебраїчних рівнянь, а це, в свою чергу, дає змогу з'ясувати можливості креслярських інструментів і можливості виконання ними тих чи інших побудов;

в) знайдена після розв'язування рівняння формула часто вказує алгоритм побудови.

Алгебраїчний метод є найдійовішим при визначенні можливості виконати ту чи іншу побудову з допомогою циркуля і лінійки, і саме в цьому - його найважливіше те­оретичне значення.

Розв'язування задачі на побудову алгебраїчним мето­дом складається, в основному, з таких чотирьох етапів:

а) складання рівняння; .

б) розв'язування рівняння;

в) дослідження розв'язків за знайденими формулами;

г) побудова величин, виражених цими формулами і побудова шуканої фігури.

1. Побудова відрізків, які визначаються найпростішими формулами.

Час відведений на цю тему у загальноосвітній школі дуже обмежений, тому побудову основних алгебраїчних виразів слід виконувати під час вивчення геометричного матеріалу у відповідних класах. Наприклад, побудову відрізків за формулою:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

слід виконувати під час вивчення теми "Вимірювання відрізків і дії з ними" та під час вивчення ділення відрізків на дві і п рівних частин з використанням теорем Фалеса.

Простіші алгебраїчні дробові вирази:

6. ;

7. ;

рекомендуємо будувати під час вивчення про­порційності відрізків.

Алгебраїчні ірраціональні вирази

8. ;

9. ;

10. ; ( при )

слід будувати під час вивчення метричних співвідношень у прямокутному трикутнику та в крузі.

Вищенаведеними формулами вичерпується офіційний програмовий матеріал на побудову відрізків за най­простішими формулами.

Побудову алгебраїчних виразів зручно поділити на дві частини: побудова раціональних алгебраїчних виразів і побудова ірраціональних алгебраїчних виразів.

4.2. Побудова відрізків, які визнача­ються раціональними алгебраїчними вира­зами

Задача 1. Дано відрізки .Побудувати відрізок .

Шуканою геометричною фігурою є відрізок, четвертий пропорційний до відрізків перший з них легко побу­дувати, а два інших є задани­ми (Рис. 62). Справді, з умови задачі , а тому . Алгоритм побудови легко відновити з малюнка. Задача має єдиний розв'язок, бо побудову відрізків на сторо­нах кута можна виконати однозначно. Результат побудови не залежить від величини кута.

Аналогічно розв'язуємо наступні задачі.

Задача 2. Побудувати відрізок (четвертий пропорційний відрізок до відрізків ).

Задача 3. Побудувати відрізок (четвертий пропорційний відрізок до відрізків).

Задача 4. Побудувати відрізок (четвертий пропорційний відрізок до відрізків ).

Задача 5. Побудувати відрізок

(четвертий пропорційний відрізок до відрізків ).

Задача 6. Побудувати відрізок .

І спосіб. Запишемо цей дріб у вигляді алгебраїчної суми трьох дробів, кожний з яких уміємо будувати:

План побудови

1. (четвертий пропорційний відрізок до відрізків );

2. (четвертий пропорційний відрізок до відріз­ків );

3. (четвертий пропорційний відрізок до відріз­ків );

4. .

II спосіб. Побудова стане значно простішою, якщо перетворимо заданий вираз так:

.

План побудови

1. .

2. (четвертий пропорційний відрізок до відріз­ків ).

3. .

Задача 7. Побудувати відрізок

План побудови

1. 

2. 

3. 

4.3. Побудова відрізків, які визначаються ір­раціональними алгебраїчними виразами. Вправи на побудову ірраціональних виразів треба починати з по­вторення побудови відрізка, який визначається формулою . Цій побудові слід приділити особливу увагу, бо вона дуже часто зустрічається в складніших алгебраїчних виразах на побудову.

За допомогою неї можна легко побудувати відрізки довжиною і т.д., за умови, що відомим є відрізок, довжина якого дорівнює 1.

Два способи побудови виразу проілюструємо на рисунках 63 і 64.

I спосіб. .

II спосіб. .

Задача 8. Побудувати відрізок довжиною .

Цей відрізок можна побудувати за будь-якою з трьох формул , викори­ставши рівності . Побудова проілюстрована на рисунках 65 - 67.

Задача 9. Побудувати відрізок

План побудови

1. (Рис. 68). 2. (Рис. 69).

3. (Рис. 70).

Задача 10. Побудувати відрізок

План побудови

1. (Рис. 71). 2. (Рис. 72).

Задача 11. Побудувати відрізок

План побудови

1. 

2. 

3. .

Задача 12. Побудувати відрізок, що визначається формулою подвоєння сторін

многокутника: , якщо дано і .

Позначимо , тоді

План побудови

1. 

2. 

3. 

4. 

Задача 13. Побудувати відрізок

Перепишемо ж, внісши під знак кореня. , де .

План побудови

1. 

2. 

Задача 14. Побудувати відрізок

за відомими .

План побудови

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Задача 15. Побудувати відрізок

Замінимо .

;

Нехай Тоді

Побудова цього відрізка очевидна.

Задача 16. Побудувати відрізок

План побудови

1. 

2. 

3. 

Задача 17. Побудувати відрізок

Зробимо такі перетворення:

1. 

2. 

3. 

4. 

План побудови

1. 

2. 

3. 

Учні повинні усвідомити, що за допомогою цир­куля і лінійки завжди можна побудувати відрізок, який визначається дійсною функцією відрізків, якщо тільки в