55.Вычислительная обработка сетей сгущения. Общие сведения об уравнивании геодезических сетей, понятие способа наименьших квадратов.

При создании геодезич. сетей с целью контроля измерений и повышения точности вычислений измеряют большее число величин чем это необходимо для построение сети как геометрич. фигуры. Величины измеряемые сверх необходимого числа наз. избыточными. Наличие избыточных измерений позвол. оценивать точность рез-тов измеренных и уравненных величин. Измерения необходимые и избыточные находятся в геометрических соотношениях кот. наз-ся условными уравнениями связи. В следствии наличия ошибок эти геометрич. соотношения не выполняются точно что приводит к невязкам, распределение которых м/у измеренными величинами наз. уравниванием. Уравнивание- математич-я обработка рез-тов измерений выполняемая при наличие избыточных измерений с целью нахождения оптимальных искомых или измеренных величин для устранения несогласия м/у результатами измерения и их функциями. Способы уравнивания: 1)коррелатный 2)параметрический. Способы уравнивания: строгие и упрощенные(приближенные)

Пусть для определения величины X измерено n равноточных измерений которые дали результаты:

а₁, а₂, а_n.

(а₁-x), (а₂-x)… (а_n-x)

V₁ V₂ V_n

Найти точное значение величины X, которое наиболее близко к точному, следов-но для него ошибки измерений были бы наименьшими. Т.к эти ошибки могут быть положительными и отрицательными для оценки точности их возводят в квадрат а затем определяют искомое значение величины X при условии что сумма квадратов была бы наименьшей.

(а₁-x)²+(а₂-x)²+…+(а_n-x)²

V₁²+V₂²+…+V_n²=min

Приняв величину X за независимое переменное:

f(x)= (а₁-x)²+(а₂-x)²+…+(а_n-x)²

Для получения минимума этой функции- функцию нужно испытать на экстремум. Способ определения значения искомой величины при условии минимума суммы квадратов ошибок отдельных измерений наз. способ наим. квадратов.

Задача способа закл. в том чтобы все имеющиеся рез-ты измерений получить приближенные но наиболее надежные значения искомых величин.

56.Задача коррелатного способа уравнивания, составление системы уравнений коррелат. Решение системы с помощью обозначений гаусса.

Он состо­ит в следующем. Пусть уравниваемой геодезической сети соответ­ствует система независимых условных уравнений поправок

,где b₁₁, b₁₂,...,b_1n;b_r1,b_r2,…,b_rn-коэффициенты, а w₁,w₂,…,w_r- свободные члены(невязки) уравнений.

Рассмотрим решение задачи по определению поправок для случая равноточных измерений в соответствии с принципом [υ²] = min. Эта задача относится к математическому анализу на условный экстремум. Она может быть решена с помощью множите­лей Лагранжа, называемых коррелатами.

Для такого решения составляют функцию Лагранжа

Затем функцию исследуют на экстремум, для чего находят ее частные производные и приравнивают их к нулю:

Отсюда

v₁=b₁₁k₁+ b₂₁k₂+…+ b_r1k_r

v₂=b₁₂k₁+ b₂₂k₂+…+ b_r2k_r

………………………….

v_n=b_1nk₁+ b_2nk₂+…+ b_rnk_r

Равенства называют коррелатными уравнениями попра­вок.

Подставляя выражения поправок в условные уравнения, после приведения подобных членов получаем систему урав­нений

которую называют системой нормальных уравнений коррелат.

Число нормальных уравнений равно числу неизвестных корре­лат, т. е. матрица из коэффициентов является квадратной.

Квадратичные коэффициенты [b₁b₁], [b₂b₂],…,[b_rb_r] располага­ются по так называемой главной диагонали определителя системмы. Остальные — неквадратичные коэффициенты, расположен­ные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой.

Pешая систему уравнений коррелатных уравнений попра­вок находят поправки υ₁,υ₂,…,υ_n. В том случае, когда в сети имеется только одно условное уравнение вида b₁₁υ₁+b₁₂υ₂+…+ b_1nυ_n+w=0 ему будет соответствовать одно нормальное уравнение коррелат [b₁b₁]k+w=0 , откуда k=-w/[b₁b₁]

Коррелатные уравнения поправок в этом случае будут:

v₁=b₁₁k

v₂=b₁₂k

……..

v_n=b_1nk

Например, если определяют третий пункт сети по двум пунк­там и трем измеренным углам треугольника, вершинами которого являются эти три пункта, то поправки в измеренные значения уг­лов треугольника по изложенному способу получают следующим образом. Условное уравнение поправок будет: v₁+v₂+v₃+w=0; нормальное уравнение коррелат: 3k+w=0 , отсюда: k=-w/3 Поправки к измеренным углам будут: v₁=v₂=v₃=-w/3 т. е. невязка распределяется с противоположным знаком, поровну на все углы треугольника.