9) Однородные уравнения относительно отношения у/х. Уравнения, приводимые к однородным.

Опр. Ф-ия F(x,y) – называется однородной n-го порядка, если выполняется равенство .

Опр. Уравнение первого порядка , где ф-ия f(x,y) является однородной несшего порядка является однородным ДУ.

Уравнения приводимые к однородным где правая часть представляет собой непрерывную ф-ию 2-го случая.

1 случай уже однородное

2 случай или один из них. Данное уравнение будет приводимо к уравнению с разделяющимися переменными или к однородному.

1. Если имеет место следующее: далее делаем замену где (l,m) это решение системы при етом dx=d()=

2. в этом случае делаем подстановку z=ax+by =>

3. . В результате получаем уравнение с разд. Переменными. Когда найдем общее решение этого уравнения нужно будет вернуться к старой переменной.

Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков. В основном ограничимся уравнениями второго порядка. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида F(x,y,y,y)=0 (1). Решением уравнения (1) называется функция y=ϕ(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общим решением уравнения (1) называется функция y = ϕ(x, C1 , C2 ), которая является решением (1) и любое решение может быть получено из нее при некоторых C1 и C2 . Начальными условиями для решения y = ϕ(x) уравнения (1) называется тройка чисел x0 , y0 , y0 такая, что y |x=x0 =y0 , y |x=x0 = y0 . Задача нахождения решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, называется задачей Коши. Для нее имеет место теорема существования и единственности, аналогичная той, которая рассматривалась для дифференциальных уравнений первого порядка. В некоторых случаях уравнение второго порядка можно привести к уравнениям первого порядка. Рассмотрим такие случаи.

Уравнение, не содержащее в явном виде искомой функции и ее первой производной. Уравнение не содержит в явном виде искомой функции и ее первой производной. Оно может быть записано в виде y = f (x). Очевидно y = (y ) = f (x), откуда y = f (x) dx + C1 и y=f(x)dx+C1 dx+C2=f (x) dx dx+C1 x+C2 (здесь интеграл подразумевает какую-либо первообразную).

Замечание 1 Так же можно решать уравнения любого порядка, имеющие вид y (n) = f (x). Пример 1 Решить уравнение y = cos x. Решение y = cos x dx + C1 = sin x + C1 , y=(sin x+C1)dx+C2 . Общее решение y = − cos x + C1 x + C2 (здесь интегралы означают первообразные !).

Уравнение, не содержащее в явном виде искомой функции

Уравнение не содержит в явном виде искомой функции, т.е. имеет вид F (x, y , y ) = 0. (2) Понизить его порядок можно введением новой неизвестной

функции y = p(x)=p. Тогда y=p, и уравнение примет вид F(x,p,p)=0. Его общее решение p=p(x,C1) или y=p(x,C1). Общее решение уравнения (2): y=p(x,C1) dx+C2. Пример 2 Решить уравнение xy =y. Решение Введем неизвестную функцию y =p, y=p . Уравнение dp dx примет вид xp=p; ln|p|=ln |x|+ln |C|; p=Cx; px

C y=Cx; y=x2+C2=C1 x2+C2. Общее решение y=C1x+C2.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных  вида:

где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀  0.

Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

 

 Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x)  0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

  Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

  Определение. Если из функций y_i составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

  Теорема. Если функции  линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

  Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

  Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения   была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

  Теорема. Если   - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений. , где C_i –постоянные коэффициенты.