Извлечение корня из комплексного числа

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения

(17.14)

где неизвестным служит , а  -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень -ой степени из комплексного числа . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если , то . Пусть . Запишем число в тригонометрической форме: . Здесь и  -- известные величины. Запишем неизвестное число в тригонометрической форме: . Здесь и  -- неизвестны. По формуле Муавра

Таким образом,

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому . В этом соотношении и  -- положительные числа, следовательно , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную . Поэтому , . Отсюда находим, что

В итоге получили:

(17.15)

Значения , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения , которые можно получить при

Формы записи комплексных чисел

Алгебраическая форма:

Тригонометрическая форма:

Пусть . Положим , . Из рисунка 17.4 очевидно, что

Тогда . Это выражение запишем в виде

(17.8)

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

(17.10)

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .

Задачи

Движение материальной точки под действием силы тяжести Материальная точка массой m свободно падает под действием силы тяжести. Найти закон движения точки.

Решение задачи о движении материальной точки.

Возьмём вертикальную ось с началом отсчёта на поверхности Земли и направим ее вверх.

Положение материальной точки М определяется ее координатой S, которая зависит от времени t.

Пусть в начальный момент времени точка находится на высоте S0.

На точку действует сила, которая по второму закону Ньютона равна: F=ma (*), где m - масса точки,a – ускорение.

Ускорение является второй производной от функции движения. Формула (*) примет вид: F=m S//(t)

По условию задачи на материальную точку действует только сила тяжести F=P=-mg,

где g=9,81(м/с2)-ускорение силы тяжести. Знак «-» показывает, что сила тяжести направлена против направления выбранной оси. Сравним полученные формулы. F=m S//(t) и F=P=-mg

Искомое дифференциальное уравнение имеет вид:

m S//(t) = -mg,

или

S//(t) = -g.

Основные понятия.

Диф уравнение - это Ур-ние связывающие независимую переменную Х, искомую ф-цию y=f(x) и её производные. ДУ имеет вид F(x,y,y’,y’’,….)=c.

Если искомая ф-ция от одной переменой, то ДУ называется обыкновенным, от нескольких – ДУ частных производных.

Порядком ДУ назыв-ся порядок наивысшей производной, в него входящей.

Решением ДУ(интеграла)наз-ют всякую ф-цию у=у(х),которая обращает исходное ур-ние в тождество.

Условие что при х=х_0, ф-ция должна равняться у=у₀ а её производные y’=y’(нулевое), y’’=y’’(нулевое)…. Назыв-ся начальными условиями.

Общим решением ДУ n-порядка наз-ся ф-ция у=ФИ(х,с1,с2….Cn) зависящая от n любых const и удолетвор.условиям:

1)она удолетвор исходному ДУ при любом значении с1 с1… сn

2)при заданных начальных условиях можно подобрать такие С что ф-ция у=ФИ(х,с1,с2…Сn) будет удолетвор.этим условиям

Если решение ДУ имеет вид Ф(x,c1,c2….cn,y)=0 т.е. у не выражаема в явном виде относительно Х таким решением называется общим интегралом ДУ.

Частное решение - любая ф-ция y=ФИ(x,c1,c2…Cn) которое можно получить из общего решения если произвольным постоянным придать определенные значения. При этом соотношение Ф(x,y,c1,c2…Cn)=0 - частный интеграл.

Решить или проинтегрировать ДУ значит:

1)найти его общее решение или интеграл(если не заданы нач условия)

2)найти частное решение или интеграл (если заданы нач условия)

График ДУ – интегральная кривая.

Дифф. уравнения первого порядка - это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, f'(x) = f(f(x)) не является дифференциальным уравнением.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой, уравнение становится тождеством(равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных, например (a + b)(a − b) = a2 − b2, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2)) . Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре (вычисление значения определённого интеграла как правило, приближённое, основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых и , где и  — пределы интегрирования), независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Обыкновенные дифференциальные уравнения — это уравнения вида

Дифференциальные уравнения в частных производных — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение первого порядка вида , где X(x) и Y(y) - непрерывные и не обращающиеся в ноль в рассматриваемой области функции. Общий интеграл уравнения задается выражением . Решение y = y(x) задачи Коши с начальным условием y(x0) = y0 как неявную функцию переменной x задает выражение