28. Методы перебора вариантов. Метод вариаций.

Дискретная оптимизация занимается исследованием задач, в которых необходимо сделать оптимальный выбор из конечного числа возможных вариантов. Задачи, имеющие конечное множество допустимых планов, называют комбинаторными.

C теоретической точки зрения простейшим методом поиска экстремального значения в комбинаторных задачах является метод полного перебора всех вариантов. Применение компьютеров позволяет осуществлять перебор достаточно большого количества вариантов, однако существуют задачи, в которых такой метод не позволяет получить решение за приемлемое время. С другой стороны, в некоторых задачах представляет интерес сам алгоритм организации перебора.

Для преодоления этих трудностей разработаны различные методы, позволяющие теоретически обосновать отсутствие необходимости в рассмотрении большей части вариантов.

В качестве первого примера рассмотрим метод вариаций.

Пусть M – конечное множество, содержащее все допустимые планы задачи. Определим множество правил, согласно которым можно переходить от одного плана к другому. Каждый такой переход будем называть вариацией. Полный набор вариаций должен позволять за конечное число шагов переходить от любого начального плана к произвольно выбранному конечному плану. Суть метода вариаций состоит в следующем.

Пусть x₀ – план задачи, такой что для любого другого плана x* найдется последовательность вариаций  x* → x_n → x_n-1 → … → x₁ → x₀, на которой целевая функция задачи монотонно убывает, то x₀ – точка минимума в данной задаче.

Проиллюстрируем работу этого метода на задаче минимизации штрафов при обслуживании заявок.

Рассмотрим n заявок, которые нужно обслужить на одном приборе (в одной точке обслуживания). Известно время T(i) обслуживания i-й заявки и c(i) – приоритет заявки (величина штрафа за единицу времени, в течение которого i-я заявка находится в очереди). Требуется найти порядок обслуживания заявок, при которой общий штраф будет минимальным.

Множество всех допустимых планов задачи состоит из множества всех перестановок  {i₁, i₂, …, i_n} чисел от 1 до n. В качестве вариаций рассмотрим транспозиции – перестановки двух номеров, находящихся в списке рядом друг с другом. Как уже отмечалось в алгебре, поскольку из любой данной перестановки можно получить любую другую при помощи конечной серии транспозиций, основное требование к набору вариаций выполнено.

Для решения задачи рассмотрим произвольную последовательность расположения заявок i₁, i₂, …, i_n. и изучим, как на величину штрафа влияет одна транспозиция.

Поменяем местами заявки i_k и i_k+1. Время ожидания заявки i_k возрастет на T(i_k+1), время ожидания заявки i_k+1 уменьшится на T(i_k). Следовательно, штраф изменится на величину T(i_k+1) c(i_k) – T(i_k) c(i_k+1).

Если последовательность заявок является оптимальной, никакая транспозиция не может уменьшить штраф, т.е. T(i_k+1) c(i_k) – T(i_k) c(i_k+1) ≥ 0, откуда c(i_k) / T(i_k) ≥ c(i_k+1) / T(i_k+1) . Таким образом, в оптимальной последовательности заявок выполняется условие:

c(i₁)/T(i₁) ≥ c(i₂)/T(i₂) ≥ … ≥ c(i_n)/T(i_n) .                           

Нетрудно доказать, что условие (4.12) является не только необходимым, но и достаточным для оптимальности последовательности обслуживания заявок.