51. Принцип максимума Понтрягина.

Для решения задачи оптимального управления нужно рассмотреть вопрос о необходимых условиях экстремума. Ответ дает теорема, которая носит название принципа максимума Понтрягина.

Теорема (принцип максимума Понтрягина). Пусть (x*, u*, t₀*, t₁*) – оптимальный процесс в задаче оптимального управления (7.1.2)–(7.1.6).

Предположим, что

-функции f_i, φ непрерывны вместе со своими производными по x в окрестности множества {(t, x*(t),u) | u∈U};

-функции ψ_i непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (t₀*, t₁*, x*( t₀*), x*( t₁*)).

Тогда найдутся множители Лагранжа: числа λ_k∈R, k =0,…,N и функция p(t)∈ACR[a; b], не все равные нулю, такие что для функции Лагранжа (функции Понтрягина)

H = ∫_{[t(0); t(1)]} f(t, x, u) + p(t)(x' - φ(t, x, u))dt + ψ(t₀, t₁, x(t₀), x(t₁)),    (7.2.1)

в которой

f(t, x, u) = ∑ _{0≤ k ≤ N} λ_kf_k(t, x, u); ψ(t₀, t₁, x₀, x₁) = ∑ _{0≤ k ≤ N} λ_kψ_k(t₀, t₁, x₀, x₁);    (7.2.2)

выполняются следующие условия:

А) стационарность по x (уравнение Эйлера): ^d/_dt L*_{x '} (t) = L*_x (t),

или p'(t) = f_x*(t) – p(t) φ_x*(t),     (7.2.3)

где L = f(t, x, u) + p(t)(x'–φ(t, x, u)) – лагранжиан задачи.

Б) трансверсальность по x:L_x’* (t₀*) = ψ_x0*,  L_x’* (t₁*) = – ψ_x1*, или p(t₀*) = ψ_x0*,  p(t₁*) = – ψ_x1*.     (7.2.4)

В) оптимальность по u:

min_u∈U L(t, x*(t), u) = L(t, x*(t), u*(t)) (7.2.5)

для всех t ∈ [t₀*, t₁*].

Г) стационарность по t₀ и t₁ (только для подвижных концов): H_t0* = 0, H  _t1* = 0;              (7.2.6)

Д) дополняющая нежесткость:

λ_kB_k* = 0, k = 1,…,m;        (7.2.7)

Е) неотрицательность:

λ_k ≥ 0, k = 0,…,m.       (7.2.8)

Доказательство. Зафиксируем управление u. Тогда задача (7.1.2) - (7.1.5) - типичная гладкая задача с ограничениями, к которой применима теорема о множителях Лагранжа. Единственное, что требуется - это записать условия (7.1.4) и (7.1.5) в виде уравнения

F(x, t₀, t₁) = 0, где оператор F действует в пространство Y = R^N-m×R[a, b] (напомним, что на пространстве R[a, b] мы рассматриваем равномерную норму).

Cогласно теореме о множителях Лагранжа найдутся не все равные нулю числа λ_k, k = 0,…,m (соответствующие целевой функции и ограничениям-неравенствам) и функционал y*∈Y*, такие что в в решении задачи дифференциал функции  H = ∑ _{0≤ k ≤ m} λ_kB_k + y*F  равен нулю, причем выполняются условия дополняющей нежесткости (7.2.7) и неотрицательности (7.2.8).

Отметим, что элемент y*∈Y* задается вектором из N-m чисел (которые мы обозначим λ_k, k = m+1,…, N) и линейным ограниченным функционалом на R[a, b]. Последний функционал согласно теореме Рисса для пространства C[a, b] задается некоторой функцией ограниченной вариации g.

Следовательно, имеет место формула: H = ∑ _{0≤ k ≤ N} λ_kB_k + ∫_{[a; b]} (x'–φ(t, x, u))dg(t).

Можно показать, что в качестве функции g можно подобрать абсолютно непрерывную функцию. В этом случае найдется интегрируемая функция p, для которой dg(t) = p(t)dt. Следовательно (с учетом обозначений (7.2.2)),

H = ∑ _{0≤ k ≤ N} λ_kB_k + ∫_{[t(0); t(1)]} p(t)(x'–φ(t, x, u))dt =

= ∫_{[t(0); t(1)]} f(t, x, u) + p(t)(x'–φ(t, x, u))dt + ψ(t₀, t₁, x(t₀), x(t₁)) = ∫_{[t(0); t(1)]} L dt + ψ.

Функция H по переменной x имеет такой же вид, как целевой функционал в задаче Больца, поэтому получаем уравнение Эйлера (7.2.3) и условия трансверсальности (7.2.4).

По переменным t₀ и t₁ функция H - обычная функция двух действительных переменных, поэтому в точке экстремума частные производные по этим переменным должны равняться нулю, т.е. выполняется условие стационарности (7.2.6).

Заметим, что в оптимальной точке при λ₀=1 выполняется H(x*, u, t₀*, t₁*)=H(u) = B₀(u), поэтому min_u(t)∈U H(u) = min_u(t)∈U B₀(u) = H(u*). Поскольку H = ∫_{[t(0); t(1)]} L dt + ψ, и функция ψ не зависит от u, получаем условие оптимальности по u (7.2.4)..