11. Свойства выпуклых множеств и выпуклых функций

Доказательства следующих теорем следуют непосредственно из определения выпуклости.

Теорема 4.1.3. Пересечение произвольного числа выпуклых множеств – выпуклое множество.

Теорема 4.1.4. Пусть M={A} – упорядоченное семейство выпуклых множеств, т.е. для всех A,B∈M существует C∈M, такое что A∪B⊆C. Тогда объединение всех множеств W= U_A∈MA семейства М является выпуклым множеством.

Теорема 4.1.5. Если функции f и g – выпуклые и λ ≥ 0, то функции f+g и λf – выпуклые.

Теорема 4.1.6. Если функции f_i, i∈I  – выпуклые и g(x)=sup_i∈I f_i(x), то функция g – выпуклая.

Определение. Пусть А – произвольное подмножество нормированного пространства X. Введем обозначения:

A_(ε) = {x∈X| (y∈X, ||x-y||< ε) => y∈A};

A_[ε] = {x∈X| (y∈X, ||x-y||≤ ε) => y∈A};

A^(ε) = {x∈X| ∃y∈A ||x-y||< ε};

A^[ε] = {x∈X| ∃y∈A ||x-y||≤ ε }.

Теорема 4.1.7. Если A ⊆ X – выпуклое подмножество нормированного пространства, то для всех ε>0 множества A_(ε), A_[ε], A^(ε), A^[ε] также являются выпуклыми.

Доказательство. 1) Пусть А – выпуклое множество и множество A_(ε) не пусто. Выберем x,y∈A_(ε). Докажем, что для всех  λ∈[0, 1] 

x_λ = λx+(1-λ)y ∈ A_(ε).

Для этого нужно показать, что для каждого h∈X, такого что ||h||<ε, выполняется условие x_λ+h ∈ A.

По определению множества A_(ε) имеем: x+h∈A, y+h∈A. В силу выпуклости множества А получаем, что для всех λ∈[0, 1]         λ(x+h)+(1-λ)(y+h) = λx+(1-λ)y + h = x_λ + h ∈A.

Случай A_[ε] доказывается аналогично (заменяем знак < на знак ≤).

2) Пусть x,y∈A^(ε). Докажем, что для всех  λ∈[0, 1]    x_λ = λx+(1-λ)y∈A^(ε).

Для этого нужно показать, что существует вектор y_λ∈A, такой что ||x_λ – y_λ||<ε.

По определению множества A^(ε) найдутся элементы x₁∈A, y₁∈A, для которых справедливы неравенства ||x – x₁||<ε и ||y – y₁||<ε.  В виду выпуклости множества А имеем y_λ = λx₁+(1-λ)y₁∈A. Кроме этого,  ||x_λ – y_λ|| = ||λx+(1-λ)y – (λx₁+(1-λ)y₁)|| = ||λ(x–x₁)+(1-λ)(y–y₁)|| ≤ λ||x–x₁||+(1-λ)||y–y₁|| < λε +(1-λ)ε = ε.

Случай A^[ε] аналогичен.

Теорема доказана.

Следствие. Если A ⊆ X – непустое выпуклое подмножество нормированного пространства X, то его внутренность int(A) и его замыкание cl(A) также выпуклые множества.

Доказательство немедленно следует из теоремы ввиду того, что int(A) – упорядоченное объединение множеств A_(ε), ε>0, а множество cl(A) совпадает с пересечением множеств A^[ε], ε>0.

Следующая теорема называется теоремой об отделимости выпуклых множеств.

Теорема 4.1.8. Пусть A, B ⊆ R^N – непустые выпуклые множества, причем А – открытое, В – замкнутое. Если A∩B=Ø, то найдется вектор z∈R^N, такой что

sup_y∈B <z, y> ≤ inf_x∈A <z, x>,

(<z,x> – скалярное произведение векторов z и x).

Теорема представляет собой одну из форм теоремы Хана – Банаха для пространства  R^N (см. функциональный анализ).

Доказательство. Пусть Ш_n – шар радиуса n с центром в начале координат, A_n = A_[1/n] ∩ Ш_n , B_n = B∩Ш_n.

При достаточно больших значениях параметра n∈N множества A_n и B_n являются непустыми, замкнутыми и ограниченными (т.е. компактными). Последовательности A_n и B_n упорядочены по включению, причем

UA_n = A, U B_n=B.

1) Зададим функцию f(x,y)=||x–y||. Поскольку f – непрерывная ограниченная снизу функция, на компактном множестве А_nxB_n она достигает своего минимального значения в некоторой точке (x_n,y_n), где x_n∈А_n, y_n∈B_n. При этом x_n≠y_n, т.к. множества A_n и B_n не пересекаются.

Обозначим z_n=(y_n–x_n) (см. рис. 4.1.1).

2) Покажем, что для всех x∈A_n и y∈B_n справедливо неравенство

<z_n, y-y_n> ≤ 0 ≤ <z_n, x-x_n>.                                     (4.1.3)

Действительно, предположим, что найдется точка x₀∈A_n, для которой выполняется неравенство 

<z_n, x₀ –x_n> = d > 0.

Тогда для всех λ∈[0, 1]  x_λ = λx₀+(1-λ)x_n∈A_n.

g(λ)=(f(x_λ,y_n)) ² = <x_λ – y_n, x_λ – y_n> = <x_n + λ (x₀– x_n) – y_n, x_n + λ (x₀– x_n) – y_n >.

g’(λ) = 2<x₀– x_n, x_n + λ (x₀– x_n) – y_n> = 0 при

<x₀– x_n, y_n  – x_n> =λ<x₀– x_n, x₀– x_n >, следовательно, λ_min = d/||x₀– x_n||² > 0.

g(λ_min)= <x_n– y_n, x_n– y_n>+λ _min²<x₀– x_n, x₀– x_n >+2λ _min<x₀– x_n, x_n– y_n> =

= <x_n– y_n, x_n– y_n>+dl _min – 2 dl _min = <x_n– y_n, x_n– y_n> – dl _min < (f(x_n, y_n))².

Полученное неравенство противоречит тому, что f(x_n, y_n) – минимально возможное расстояние между точками множеств A_n и B_n.

Вторая часть неравенства (4.1.3) доказывается аналогично.

3) Из (4.1.3) получаем, что для всех x∈A_n и y∈B_n выполняется

<z_n, x > ≤  <z_n, x_n> < <z_n,z_n>+<z_n, x_n>=<z_n, y_n> ≤ <z_n, y>.             (4.1.4)

Пронормируем векторы z_n (при этом неравенства (4.1.4) сохранятся). Поскольку теперь последовательность z_n является ограниченной, выделим из нее сходящуюся подпоследовательность. Обозначим z₀ = lim z_n(k).

Пусть x∈A, y∈B. Начиная с некоторого номера выполняются включения x∈A_n(k), y∈B_n(k). Следовательно, для этих же номеров выполняется неравенство (4.1.4): <z_n(k), x> < <z_n(k), y>. Перейдя к пределу, получаем

<z₀, x> ≤ <z₀, y>.

Теорема доказана.