41. Простейшая вариационная задача (пвз), исследование необходимых условий экстремума первого порядка.

Определение. Простейшей вариационной задачей называется следующая задача:

f(x)= ∫_{[a; b]} L(t, x(t),x'(t))dt → extr,  x(a)=x₁, x(b)=x₂, x∈C¹[a, b], (6.1.1)

где L – гладкая функция трёх независимых переменных (t, x, x'), называемая лагранжианом задачи.

Обозначим

M={C¹[a, b] | x(a)=x₁, x(b)=x₂ }.     (6.1.2)

Множество M является аффинным пространством, поэтому простейшую вариационную задачу можно рассматривать как задачу без ограничений. Поскольку функционал f - композиция оператора Немыцкого и интегрального оператора, он является непрерывно дифференцируемым. Следовательно, для нахождения решения задачи (1) можно воспользоваться необходимым условием экстремума Df(x₀)=0.

Теорема 6.1.1. Если функция L – непрерывна вместе с ее частными производными L_x и L_x' в окрестности расширенного графика функции x₀

G(x₀, ε) = {(t, x, y) | t∈[a, b], |x₀(t)–x|<ε, |x'₀(t)–y|<ε},

то функционал f  непрерывно дифференцируем в окрестности точки x₀, причем

Df(x₀) h = ∫_{[a; b]} L_x(t, x₀(t),x₀'(t)) h(t) + L_{x '} (t, x₀(t),x₀'(t)) h'(t) dt.      (6.1.3)

Доказательство основывается на теореме о дифференцировании композиции для линейного ограниченного интегрального оператора и оператора Немыцкого (см. пункт 5.4 и формулу (5.4.2)).

Согласно необходимому признаку экстремума в задачах без ограничений для отыскания точек  экстремума необходимо уметь решать уравнение Df(x)=0, которое означает, что Df(x)h=0 для всех h∈M₀={C¹[a, b] | h(a)=0, h(b)=0} (M₀ – векторное пространство,  присоединенное к аффинному пространству M).

Лемма (Дюбуа-Реймон, Эйлер). Пусть c(t), d(t) – непрерывные функции на [a,b] и для всех h∈M₀={C¹[a, b] | h(a)=0, h(b)=0} выполняется равенство

∫_{[a; b]} c(t)h(t) + d(t) h'(t) dt = 0.           (6.1.4)

Тогда d(t)∈C¹[a, b] и d'(t)= c(t) на [a,b].

Доказательство. Обозначим   C(t) = ∫_{[a; t]} c(s) ds.

Тогда  ∫_{[a; b]} c(t)h(t)dt = ∫_{[a; b]} (C(t))'h(t)dt = C(t)h(t) |_a^b - ∫_{[a; b]} C(t)h'(t)dt = - ∫_{[a; b]} C(t)h'(t)dt,

т.е. из (6.1.4) получаем, что ∫_{[a; b]} {d(t) - C(t)}h'(t)dt = 0 для всех h∈M₀.

Осталось показать, что если функция f(t)∈C[a,b] и для всех h∈M₀ выполняется условие ∫_{[a; b]} f(t)h'(t)dt=0, то f(t) ≡ const (тогда f(t) = d(t) – C(t) ≡ d(t) - ∫_{[a; t]} c(s) ds ≡ const).

Пусть f = ¹/_(b-a) ∫_{[a; b]} f(t)dt, тогда ∫_{[a; b]} {f(t) -f}dt = 0.

Обозначим h₀(t) = ∫_{[a; t]} {f(s) - f}ds, тогда выполняется условие h₀∈M₀, следовательно, ∫_{[a; b]} f(t)h₀'(t)dt = ∫_{[a; b]} f(t){f(t) - f}dt = 0. Используем равенство ∫_{[a; b]}{f(t) - f}dt = 0. Вычитая из первого второе, получаем: ∫_{[a; b]}{f(t) - f}²dt = 0.  Поскольку f(t) – f ∈C[a,b], получаем f(t) – f ≡ 0, или f(t) ≡ f = const.

Теорема 6.1.2 (уравнение Эйлера). Если L, L_x и L_x' – непрерывные функции, x*(t) – точка экстремума в задаче (6.1.1), то x* удовлетворяет уравнению Эйлера:

^d/_dt L_{x '} (t, x*(t),x*'(t)) = L_x (t, x*(t),x* '(t)).                (6.1.5)

Доказательство. Запишем уравнение Df(x)h=0, используя формулу (6.1.3). Применяем лемму Эйлера (в нашем случае c(t)=L_x(t, x(t)*, x* '(t)),  d(t)=L_x’(t, x(t)*, x* '(t)) ). В итоге получается формула (6.1.5).

Определение. Решение уравнения Эйлера для заданной простейшей вариационной задачи называется экстремалью этой задачи. Экстремали, удовлетворяющие ограничениям задачи, называются допустимыми экстремалями.

Таким образом, согласно теореме 6.1.2, для того, чтобы функция была решением простейшей вариационной задачи, необходимо, чтобы она являлась допустимой экстремалью  этой задачи.