Задача Больца.

Определение. Задачу вида

F(x)= ∫_{[a; b]} L(t, x(t),x'(t))dt + r(x(a), x(b)) → extr,   x∈C¹[a, b],     (6.8.1)

где L – гладкая функция трёх независимых переменных (t, x, x') (как и в ПВЗ - лагранжиан задачи), r - гладкая функция двух переменных xa и xb, будем называть задачей Больца.

На основе результатов, полученных для простейшей вариационной задачи, нетрудно убедиться, что функционал F непрерывно дифференцируем, причем для всех h∈C¹[a, b] справедлива формула

DF(x)h= ∫_{[a; b]} L_x(t, x(t),x'(t))h(t)+L_{x '}(t, x(t),x'(t))h'(t)dt + r_xa(x(a), x(b))h(a)+r_xb(x(a), x(b))h(b).     (6.8.2)

Как и во всех гладких задачах без ограничений, необходимым условием экстремума является DF(x) = 0, или

DF(x)h = 0 для всех h∈C¹[a, b].     (6.8.3)

Ограничимся в условии (6.8.3) на первом этапе только теми h, у которых h(a)=h(b)=0. Тогда получаем равенство

∫_{[a; b]} L_x(t, x(t),x'(t))h(t)+L_{x '}(t, x(t),x'(t))h'(t)dt = 0,

которое по лемме Дюбуа-Реймона эквивалентно уравнению Эйлера:

^d/_dt L_{x '}(t, x(t),x'(t))  = L_x(t, x(t),x'(t)).

Следовательно, для всех h∈C¹[a, b] имеем:

∫_{[a; b]} L_x(t, x(t),x'(t))h(t)+L_{x '}(t, x(t),x'(t))h'(t)dt = ∫_{[a; b]} {^d/_dt L_{x '}(t, x(t),x'(t)) }h(t)+L_{x '}(t, x(t),x'(t))h'(t)dt =

= L_{x '}(t, x(t),x'(t))h(t) |_a^b = L_{x '}(b, x(b),x'(b))h(b) - L_{x '}(a, x(a),x'(a))h(a),

откуда

DF(x)h= {L_{x '}(b, x(b),x'(b)) + r_xb(x(a), x(b))} h(b) + {r_xa(x(a), x(b)) - L_{x '}(a, x(a),x'(a))}h(a) = 0.   (6.8.4)

Чтобы условие (6.8.4) выполнялось для всех h необходимо (и достаточно), чтобы множители перед h(a) и h(b) равнялись нулю, или:

L_{x '}(a, x(a),x'(a)) = r_xa(x(a), x(b));  L_{x '}(b, x(b),x'(b)) = - r_xb(x(a), x(b))} h(b).    (6.8.5)

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 6.8.1. Пусть x* - решение задачи (6.8.1). Тогда

1) x* удовлетворяет уравнению Эйлера;

2) при x=x* выполняются условия трансверсальности (6.8.5).

Замечание. Аналогичным способом можно действовать и с условиями второго порядка. В частности, вычислив дифференциал второго порядка функционала F, можно рассмотреть его на множестве функций h, таких что и ограничившись функциями h, таких что h(a)=h(b)=0. В результате мы установим, что для задачи Больца справедливы такие же условия Лежандра и Якоби, как и для простейшей вариационной задачи

6.9. Изопериметрические задачи.

Определение. Задачу вида

f₀(x)= ∫_{[a; b]} L₀(t, x(t),x'(t))dt → extr,  

f_k(x)= ∫_{[a; b]} L_k(t, x(t),x'(t))dt = C_k , k=1,...,m

x(a)=x₁, x(b)=x₂,  x∈C¹[a, b],     (6.9.1)

где L_k – гладкие функции трёх независимых переменных (t, x, x'), будем называть классической изопериметрической задачей.

В отичие от ранее рассмотренных задач (6.9.1) - это задача с ограничениями, следовательно для ее исследования нужно пользоваться правилом множителей Лагранжа (теорема 5.6.4).

Составим функцию Лагранжа:

F = ∑_0≤k≤mλ_kf_k =  ∑_0≤k≤mλ_k∫_{[a; b]} L_k(t, x(t),x'(t))dt =∫_{[a; b]} L(t, x(t),x'(t))dt,

где L(t, x, x') = ∑_0≤k≤mλ_kL_k(t, x, x').                      (6.9.2)

Согласно теореме 5.6.4 если x - решение нашей задачи, то должно выполняться условие DF(x)=0. Однако функционал F такой же, как в простейшей вариационной задаче, поэтому условие DF(x)=0 снова приводит к уравнению Эйлера:

^d/_dt L_{x '}(t, x(t),x'(t))  = L_x(t, x(t),x'(t)).

Пример. Пусть r(t) = (x(t), y(t)), t∈[0; 1] - параметризация простой (без самопересечений) гладкой кривой. Для того, чтобы ограничиться замкнутыми кривыми, добавим условия r(0) = (x(0), y(0)) = r(1) = (x(1), y(1)) = (0; 0).

Площадь, ограниченную кривой r, можно вычислить по формуле (с точностью до знака):

f₀(r)= ∫_{[0; 1]} x(t)y'(t)dt.  

Длина кривой r вычисляется по формуле:

f₁(r)= ∫_{[0; 1]} |r'(t)|dt = ∫_{[0; 1]} ([x'(t)]²+[y'(t)]²)^1/2dt.

Таким образом, формализацию задачи Дидоны можно записать следующим образом:

f₀(r)= ∫_{[0; 1]} x(t)y'(t)dt → extr,

f₁(r)= ∫_{[0; 1]} ([x'(t)]²+[y'(t)]²)^1/2dt = С,

x(0) = y(0) = x(1) = y(1) = 0,

r=(x, y) ∈C¹[0; 1].

Для нахождения решения составим функцию Лагранжа: L = λ₀ x y' + λ₁([x']²+[y']²)^1/2.

Вычислим частные производные функции L:

L_x = λ₀ y'; L_y = 0; L_{x '} = λ₁x'/([x']²+[y']²)^1/2; L_{y '} = λ₀ x + λ₁y'/([x']²+[y']²)^1/2.

Составим уравнение Эйлера: ^d/_dt L_{r '}(t, r(t),r'(t))  = L_r(t, r(t),r'(t)). Получим систему

^d/_dt L_{x '}(t, r(t),r'(t))  = L_x(t, r(t),r'(t)); ^d/_dt L_{y '}(t, r(t),r'(t))  = L_y(t, r(t),r'(t)), или

^d/_dt{ λ₁x'/([x']²+[y']²)^1/2} = λ₀ y';     ^d/_dt{λ₀ x + λ₁y'/([x']²+[y']²)^1/2} = 0.

Каждое из уравнений системы можно один раз проинтегрировать:

λ₁x'/([x']²+[y']²)]^1/2 = λ₀ y + С₁;    λ₀ x + λ₁y'/([x']²+[y']²)]^1/2 = С₂, откуда

(λ₀ y + С₁)² + (λ₀ x - С₂)² = λ₁².                       (6.9.3)

Если λ₁=0, то x=const, y=const - кривая r вырождается в точку и не может иметь заданной длины. Если λ₀=0, то λ₁²[x']²/([x']²+[y']²) = С₁², λ₁²[y']²/([x']²+[y']²) = С₂², откуда |x'|=const, |y'|=const, т.е. график кривой r лежит на некоторой прямой (при этом площадь, ограниченная кривой равна нулю).

В противном случае (6.9.3) - это уравнение окружности. Следовательно, единственная простая замкнутая кривая, которая может претендовать на роль решения задачи Дидоны - это окружность.