- •1. Введение
- •Основные разделы курса
- •3. Основная задача линейного программирования. Различные формы записи задачи.
- •6. Алгоритм симплекс-метода.
- •1.3. Реализация симплекс-метода в виде симплексных таблиц.
- •8Транспортная задача. Описание и примеры применения метода потенциалов.
- •29.Метод ветвей и границ. Задача о рюкзаке.
- •Задача о рюкзаке
- •30. Метод ветвей и границ. Задача коммивояжера.
- •28. Методы перебора вариантов. Метод вариаций.
- •31.Задачей целочисленного программирования называется задача линейного программирования, в которой имеется дополнительное условие, требующее, чтобы часть переменных принимала только целые значения.
- •35.Общие принципы дискретного динамического программирования. Уравнение Беллмана.
- •36. Задача распределения ресурсов.
- •38. Построение кратчайшего пути на сети.
- •37. Задача оптимального планирования. Обработка деталей на двух станках.
- •10. Выпуклые множества и выпуклые функции.
- •13.Двойственность в задачах выпуклого программирования
- •14. Квадратичное программирование
- •12. Постановка задачи. Теорема Куна – Таккера.
- •16. Геометрическое программирование
- •11. Свойства выпуклых множеств и выпуклых функций
- •19. Общая задача нелинейного программирования.
- •22.Свойства дифференцируемых функций.
- •24. Дифференцируемость оператора Немыцкого.
- •25. Необходимый признак экстремума в задачах без ограничений первого и второго порядков.
- •27 . Правило множителей Лагранжа для гладких нелинейных задач.
- •41. Простейшая вариационная задача (пвз), исследование необходимых условий экстремума первого порядка.
- •45. Вариационная задача с кусочно-гладкими кривыми.
- •46. Исследование необходимых условий экстремума второго порядка. Условия Лежандра и Якоби.
- •42.. Алгоритм Гюйгенса исследования пвз.
- •48.. Поле экстремалей. Достаточные условия сильного экстремума.
- •Задача Больца.
- •6.9. Изопериметрические задачи.
- •51. Принцип максимума Понтрягина.
42.. Алгоритм Гюйгенса исследования пвз.
Определение. Функцию Ф(t, x, x') ( t∈[a, b], x,x'∈Rn) будем называть точной производной в области W⊆[a, b]×Rn, если найдется гладкая функция S(t,x), такая что для всех (t,x)∈W, x' ∈Rnвыполняется равенство Ф(t, x, x') = St(t,x) + Sx(t,x) x'.
Заметим, что для всех функций х∈C1[a, b] выполняется тождество
Ф(t, x(t), x'(t)) = d/dt [S(t, x(t))] = St(t,x(t)) + Sx(t,x(t)) x'(t).
Лемма. Если в простейшей вариационной задаче
g(x)= ∫[a; b] Ф(t, x(t),x'(t))dt → extr, x(a)=x1, x(b)=x2, x∈C1[a, b] (6.6.1)
функция Ф является точной производной, то на множестве допустимых функций функционал g принимает постоянное значение.
Множество W, которое фигурирует в определении точной производной, играет следующую роль. Уравнение Эйлера позволяет найти подозрительную на экстремум функцию x0(t). Затем, если мы хотим проверить эту функцию на сильный локальный экстремум, то требуется сравнить значения f в точке x0 и точках x, график которых лежит в окрестности графика x0, т.е. в множестве
W = G(x0, ε) = {(t, x) | t∈[a, b], |x0(t)–x|<ε}.
Если же требуется проверка на глобальный экстремум, можно считать, что W = [a, b] × Rn.
Таким образом, множество W задает ограничение на допустимые функции, график которых должен находиться в этом множестве.
Теорема 6.6.1 (Алгоритм Гюйгенса). Предположим, что в области W существует точная производная Ф, такая, что:
1) ∀ (t,x)∈W, ∀x'∈Rn L(t, x, x') ≥ Ф(t, x, x'); (6.6.2)
2) для некоторой допустимой функции x0(t) ∀ t∈[a, b] выполняется тождество
L(t, x0(t), x'0(t)) = Ф(t, x0(t), x'0(t)). (6.6.3)
Тогда х0 – точка минимума для задачи (6.1.1) в области W.
Доказательство. Зададим функционал g по формуле (6.6.1). Тогда для любой допустимой функции x, чей график лежит в области W с учетом доказанной леммы и условий теоремы получаем:
f(x) ≥ g(x) = g(х0) = f(х0 ).
Теорема доказана.
Эффективность алгоритма Гюйгенса существенно зависит от того, научимся ли мы находить требуемую для его работы точную производную. Для решения этой проблемы удобно использовать следующее понятие.
Определение. Функцию p:W → Rn назовем геодезическим наклоном в задаче (6.1.1) для области W, если:
1.задача Коши x'=p(t,x), x(t0)=x0 разрешима для любого (t0, x0)∈W (или говорят, что решения уравнения x'=p(t,x) покрывают множество W);
2.существует точная производная Ф, такая, что ∀ (t,x)∈W, ∀x'∈Rn: а) L(t, x, x') ≥ Ф(t, x, x'); б) L(t, x, p(t, x)) = Ф(t, x, p(t, x)).
Решения уравнения x'=p(t,x) называются геодезическими кривыми.
Теорема 6.6.2. Любая допустимая геодезическая кривая является точкой минимума для задачи (6.1.1) в области W.
Доказательство. Если x0 - допустимая геодезическая кривая, то x0'(t) = p(t, x0(t)), при этом выполняются все условия теоремы 6.6.1.
Покажем, что на самом деле точная производная, упоминаемая в определении геодезического наклона, вычисляется однозначно.
Лемма. Если р – геодезический наклон для области W, то ∀ (t,x)∈W, ∀x'∈Rn
Ф(t, x, x') = L(t, x, p(t, x)) + Lx '(t, x, p(t, x)) (x' - p(t,x)). (6.6.4)
Заметим, что для функции Ф(t, x, x') условие Ф(t, x, p(t, x)) = L(t, x, p(t, x)) теперь выполняется автоматически.
Определение. Функция E: W×Rn×Rn→ R: E(t, x, x', p) = L(t, x, x') - L(t, x, p) - Lx '(t, x, p) (x' - p) называется функцией Вейерштрасса для задачи (6.1.1).
Пусть p=p(t,x) – геодезический наклон, тогда условие а) в определении может быть записано так:
E(t, x, x', p(t,x)) = L(t, x, x') - L(t, x, p(t, x)) - Lx '(t, x, p(t,x)) (x' - p(t,x))≥ 0 (условие Вейерштрасса).
Утверждение. Пусть W - односвязная область, функции p, L, Lx ' непрерывны. Интеграл Гильберта-Картана не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда для всех (t,x)∈W выполняются следующие условия:
1.∀ k=1,...,n ∂/∂t yk(t,x,p(t,x)) = ∂/∂xk H(t,x,p(t,x)) ;
2.∀ i=1,...,n; k=1,...,n ∂/∂xk yi(t,x,p(t,x)) = ∂/∂xi yk(t,x,p(t,x)).
Определение. Функции [t, xk] (t,x) ≡ ∂/∂t yk(t,x,p(t,x)) - ∂/∂xk H(t,x,p(t,x));
[xi, xk] (t,x) ≡ ∂/∂xk yi(t,x,p(t,x)) - ∂/∂xi yk(t,x,p(t,x)) называются скобками Пауссона для геодезического наклона p.
Все вышесказанное доказывает следующую теорему.
Теорема 6.6.3. Пусть функции p, L, Lx ' непрерывны, W - односвязная область. Функция р:W→Rn – геодезический наклон в области W тогда и только тогда, когда:
10. Решения уравнения x'=p(t,x) покрывают область W;
20. Выполняется условие Вейерштрасса:∀t∈[a, b] E(t, x, x', p(t,x)) ≥ 0
30.∀ i=1,...,n; k=1,...,n ∀(t, x) ∈W [t, xk] (t,x) =0 и [xi, xk] (t,x)=0.
Лемма. Пусть x - геодезическая кривая. Тогда
d/dt Lx '(i) (t, x(t),x'(t)) - Lx(i) (t, x(t),x '(t)) ≡ ∑1≤k≤nxk'(t)[xk, xi] (t,x(t)) +[t, xi] (t,x(t)).
Доказательство леммы проводится непосредственным вычислением с использованием определения скобок Пуассона.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 6.6.3, p - геодезический наклон. Тогда уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.1.1):
d/dt Lx ' (t, x(t),x'(t)) = Lx (t, x(t),x '(t)).
Данное утверждение сильно сужает круг для поиска функций геодезического наклона.
Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 6.6.3, p - геодезический наклон и уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.1.1). Тогда из условия
∀ k=1,...,n ∀(t, x) ∈W [xi, xk] (t,x)=0 следует выполнение условия ∀(t, x) ∈W [t, xi] (t,x) =0.
Средствами теории дифференциальных уравнений, можно доказать следующий результат.
Утверждение. Пусть функции p, L и Lx ' непрерывны вместе со своими вторыми производными, W - односвязная область, p - геодезический наклон и уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.1.1). Если для каждого решения x0 уравнения x'=p(t, x) найдется точка t0∈[a, b], для которой ∀ i=1,...,n; k=1,...,n [xi, xk] (t0,x0(t0))=0, то [xi, xk]≡0 на W.
Итог всех рассуждений запишем в виде теоремы.
Теорема 6.6.4. Пусть функции p, L и Lx ' непрерывны вместе со своими вторыми производными, W - односвязная область, уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера.
Функция p является геодезическим наклоном тогда и только тогда, когда выполнены условия:
10. Решения уравнения x'=p(t,x) покрывают область W;
20. Выполняется условие Вейерштрасса:∀t∈[a, b] E(t, x, x', p(t,x)) ≥ 0
30. Для каждого решения x0 уравнения x'=p(t, x) найдется точка t0∈[a, b], для которой ∀ i=1,...,n; k=1,...,n [xi, xk] (t0,x0(t0))=0.