- •1. Введение
- •Основные разделы курса
- •3. Основная задача линейного программирования. Различные формы записи задачи.
- •6. Алгоритм симплекс-метода.
- •1.3. Реализация симплекс-метода в виде симплексных таблиц.
- •8Транспортная задача. Описание и примеры применения метода потенциалов.
- •29.Метод ветвей и границ. Задача о рюкзаке.
- •Задача о рюкзаке
- •30. Метод ветвей и границ. Задача коммивояжера.
- •28. Методы перебора вариантов. Метод вариаций.
- •31.Задачей целочисленного программирования называется задача линейного программирования, в которой имеется дополнительное условие, требующее, чтобы часть переменных принимала только целые значения.
- •35.Общие принципы дискретного динамического программирования. Уравнение Беллмана.
- •36. Задача распределения ресурсов.
- •38. Построение кратчайшего пути на сети.
- •37. Задача оптимального планирования. Обработка деталей на двух станках.
- •10. Выпуклые множества и выпуклые функции.
- •13.Двойственность в задачах выпуклого программирования
- •14. Квадратичное программирование
- •12. Постановка задачи. Теорема Куна – Таккера.
- •16. Геометрическое программирование
- •11. Свойства выпуклых множеств и выпуклых функций
- •19. Общая задача нелинейного программирования.
- •22.Свойства дифференцируемых функций.
- •24. Дифференцируемость оператора Немыцкого.
- •25. Необходимый признак экстремума в задачах без ограничений первого и второго порядков.
- •27 . Правило множителей Лагранжа для гладких нелинейных задач.
- •41. Простейшая вариационная задача (пвз), исследование необходимых условий экстремума первого порядка.
- •45. Вариационная задача с кусочно-гладкими кривыми.
- •46. Исследование необходимых условий экстремума второго порядка. Условия Лежандра и Якоби.
- •42.. Алгоритм Гюйгенса исследования пвз.
- •48.. Поле экстремалей. Достаточные условия сильного экстремума.
- •Задача Больца.
- •6.9. Изопериметрические задачи.
- •51. Принцип максимума Понтрягина.
45. Вариационная задача с кусочно-гладкими кривыми.
По аналогии с задачей (6.1.1) можно рассмотреть тот же функционал не на множестве непрерывно дифференцируемых функций, а на множестве ACR[a, b] абсолютно непрерывных функций, чья производная интегрируема по Риману.
Заметим, что если в условиях леммы Дюбуа-Реймона функции c(t) и d(t) интегрируемы по Риману, а условие (6.1.4) справедливо для всех функций h∈ACR[a, b], то доказательство леммы почти дословно можно повторить.
Доказательство модификации леммы Эйлера. Обозначим C(t) = ∫[a; t] c(s) ds ( ∈ACR[a, b]). Тогда C(t)h(t)∈ACR[a, b] и справедлива формула Ньютона-Лейбница, поэтому
∫[a; b] c(t)h(t)dt = ∫[a; b] (C(t))'h(t)dt = C(t)h(t) |ab - ∫[a; b] C(t)h'(t)dt = - ∫[a; b] C(t)h'(t)dt,
т.е. из (6.1.4) получаем, что ∫[a; b] {d(t) - C(t)}h'(t)dt = 0 для всех h∈M0={h∈ACR[a, b] | h(a)=h(b)=0}.
Обозначим f(t) = d(t) – C(t) ≡ d(t) - ∫[a; t] c(s) ds ∈R[a, b], f = 1/(b-a) ∫[a; b] f(t)dt, тогда ∫[a; b] {f(t) -f}dt = 0.
Пусть h0(t) = ∫[a; t] {f(s) - f}ds, тогда выполняется условие h0∈M0, следовательно,
∫[a; b] f(t)h0'(t)dt = ∫[a; b] f(t){f(t) - f}dt = 0. Используем равенство ∫[a; b]{f(t) - f}dt = 0. Вычитая из первого второе, получаем: ∫[a; b]{f(t) - f}2dt = 0. Поскольку f(t) – f ∈R[a,b], получаем f(t) – f ≡ 0 во всех точках непрерывности функции f(t) (или, что то же, функции d(t)).
Таким образом, во всех точках непрерывности функции d(t) выполняется равенство
d(t) = ∫[a; t] c(s) ds + const.
В качестве следствия получаем:
Теорема 6.3.1 (уравнение Эйлера для ПВЗ с кусочно-гладкими функциями). Если L, Lx и Lx' – непрерывные функции, x*(t)∈ACR[a, b] – точка экстремума в ПВЗ, то x* удовлетворяет уравнению Эйлера в интегральной форме, т.е.
Lx ' (t, x*(t),x*'(t)) = ∫[a; t] Lx (s, x*(s),x* '(s)) ds + const во всех точках непрерывности функции x* '. (6.3.1)
Функцию x* ' можно переопределить в ее точках разрыва таким образом, что
р(t) ≡ Lx ' (t, x*(t),x*'(t)) ∈ ACR[a, b] (первое условие Вейерштрасса-Эрдмана),
при этом во всех точках непрерывности функции x* ' выполняется уравнение Эйлера в дифференциальной форме: d/dt р(t) = d/dt Lx ' (t, x*(t),x*'(t)) = Lx (t, x*(t),x* '(t)).
Замечание. Если не требовать абсолютной непрерывности функций x и y, то можно столкнуться с функцией типа лестницы Кантора, которая отлична от константы, непрерывна и имеет за исключением множества меры ноль производную, равную нулю. Допуская возможность использования таких функций в качестве параметризации кривых, получим, что длина каждого отрезка равна нулю.
Тот факт, что экстремум в задаче о кратчайшем расстоянии оказался равным на множествах C1[a, b] и ACR[a, b], является типичным явлением.
Лемма (о скруглении углов). Пусть функция L=L(t, x, x') непрерывна по совокупности всех своих переменных. Если функция x* является решением задачи (6.1.1) на множестве функций из C1[a, b], то эта же функция будет решением задачи (6.1.1) на множестве ACR[a, b].
Доказательство. Схема рассуждений может быть такой. Предположим, что найдется функция y*∈ACR[a, b], которая дает меньшее значение функционалу f, чем x*. Воспользуемся тем, что множество точек разрыва у функции y* имеет меру ноль, значит его можно поместить в объединение интервалов малой суммарной длины. На оставшейся части отрезка [a, b] эту функцию можно равномерно приблизить функциями из xn∈C1[a, b]. В итоге разность между f(y*) и f(xn) можно сделать как угодно малой, что противоречит предположению о том, что f(y*) строго меньше, чем экстремум f на множестве C1[a, b].