Течение Прандтля – Майера

Важным для понимания механизма формирования течения в сложных структурах газодинамического участка сверхзвуковой струи являются соотношения для течения Прандтля – Майера. Оно реализуется при обтекании сверхзвуковым потоком выпуклых углов, а в струйном течении – при пересечении косых скачков со свободной поверхностью в начальном сечении сопла при и др. Схема течения изображена на рис.2.3.

Рис.2.3. Схема течения Прандтля – Майера:

– угол линий Маха; – угол наклона линий Маха к начальному положению при ; – угол отклонения потока при развороте от начального положения при

Течение, схема которого представлена на рис.2.3, характеризуется поворотом вокруг вершины угла (точки ) волн разрежения (линий Маха) от исходного положения при и до положения , при котором скорость , а угол линии Маха с вектором скорости будет .

Вектор скорости будет совпадать с линией угла отклонения , а характерные углы будут связаны соотношением .

В схеме течения на всех значениях радиуса полярных координат течения (, ) будут одинаковые значения при постоянном . Для каждой траектории течение будет изоэнтропическим () и поток разгоняется с увеличением при увеличении , аналогично зависимостям для сверхзвукового сопла Лаваля с увеличением числа и понижением давления . При этом все параметры изоэнтропического течения , , , могут быть определены в функции только от одного параметра: угла поворота радиуса или угла поворота линий Маха – волн разрежения. При этом подразумевается, что заданы все параметры критического состояния или параметры торможения , , , , , , .

В соответствии с этими условиями, в начальном сечении и перед разворотом струи линии Маха перпендикулярны скорости потока . Движение потока от начального сечения будет происходить под действием волн разрежения (линий Маха местных точек траекторий) с поворотом волн около полюса . При этом нормальная составляющая скорости в каждой точке траектории будет равна местной скорости звука: . Проекции скорости на радиус будут постоянны вдоль радиуса , а из условия потенциального течения (циркуляция скорости равна 0) следует

.

Используя вышеприведенные формулы и уравнение энергии в форме

,

а также имея ввиду и , получим

.

Решение системы уравнений с интегрированием дифференциального уравнения с разделяющимися переменными приводит к следующим выражениям для компонент скорости:

;

,

где .

Отсюда согласно [1] получим:

;

;

;

;

.

Если расширение потока осуществляется в вакуум (), то предельные углы поворота линий Маха и потока от их исходных положений будут

, .

Для будем иметь ; .

Если поток расширяется не от критического состояния, когда , а от состояния, когда и , то его поворот до состояния определяется как разность углов поворота от состояния до : и угла поворота от состояния до : , то есть или геометрически .

Эти функции определяются по таблицам и имеют вид

.

Общие условия перехода от дозвукового к сверхзвуковому течению и обратно

В течении с изменением массы, теплосодержания, осуществлением внешней работы, а также при трении имеет место изменение параметров течения, как и при адиабатическом течении в сопле с изменением площади сечения.

Л.А. Вулисом было установлено соотношение, связывающее изменение скорости газового потока с внешними воздействиями (геометрическим, расходным, механическим, тепловым и трением):

.

Важный вывод из этого соотношения состоит в том, что знак его левой части изменяется при переходе значения скорости через критическое. Поэтому характер влияния отдельных физических воздействий на газовое течение будет противоположен при дозвуковом и сверхзвуковом режимах.

Воздействия, вызывающие ускорение в дозвуковом потоке (сужение канала, подвод дополнительной массы газа, совершение газом работы, трение и подвод тепла: ; ; ; ), приводят к замедлению сверхзвукового потока. Воздействия обратного знака (расширение канала, отсос газа через перфорацию, сообщение газу механической энергии и отвод тепла: ; ; ; ), приводят к замедлению дозвукового и ускорению сверхзвукового потоков. Отсюда следует общий вывод, что под влиянием одностороннего воздействия величину скорости газового потока можно довести только до критической, но нельзя перевести через нее.

Для течения в сопле и течения струи в первую очередь следует рассматривать течения с изменением площади сечения, подводом массы (подвод воды или воздуха к газовой струе), уменьшением теплосодержания при смешении газа с водой.

При течении в "геометрическом сопле", то есть в сопле Лаваля, при отсутствии других воздействий (; ; ; ), будет иметь место соотношение

.

В этом случае разгон дозвукового потока будет иметь место при сужении канала (), а начиная с критического сечения (), для дальнейшего разгона () нужно расширять канал ().

Известно, что течение в сопле Лаваля с разгоном потока является изоэнтропическим. Следует отметить, что при изменении геометрии сопла в сверхзвуковой части () будет иметь место неизоэнтропическое течение со скачками уплотнения и торможением потока (). В струе, выходящей из сопла с давлением , такое течение имеет место с уменьшением сечения струи после среза сопла на длине нескольких .

Расходное сопло обеспечивает для течения в канале постоянного сечения ускорение потока при путем увеличения расхода , а после достижения – ускорение потока за счет частичного отвода газа из потока и уменьшения таким образом расхода ():

.

Такое сопло в принципе аналогично геометрическому, и течение при ускорении потока является изоэнтропическим.

При увеличении массы газа на сверхзвуковом участке () течение будет неизоэнтропическим, а при расчете его параметров с торможением потока должны использоваться уравнения с применением изоэнтропы Пуассона с различными значениями до ввода дополнительного расхода и после скачков уплотнения, вызванных этим действием .

В тепловом сопле по причине подвода и отвода тепла энтропия изменяется. Параметры теплового и полутеплового сопла как технического средства разгона потока рассматриваются в монографии [1].

В задаче определения газодинамических параметров сверхзвуковой горячей струи, в которую вводится вода, имеет место комплекс факторов, влияющих разнопланово на параметры потока. Это, в первую очередь, увеличение расхода газа, ведущее к торможению потока, охлаждение газа струи, ведущее к снижению критической скорости потока. В процессе смешения воды с газом имеет место изменение площади сечения потока; патрубки, вводящие воду, уменьшают количество движения обтекающего их потока. Система уравнений, описывающая эти процессы, должна учитывать, что все они неизоэнтропические, и включать эмпирические зависимости. Предлагаемая в главе 3 этой книги методика расчета позволяет выявить аналитическим путем ряд новых свойств сверхзвукового струйного течения при вводе в него воды, что имеет большое значение для практики расчета газодинамических процессов при старте.