3.3 Фомула Ньютона-Лейбница

Теорема: Пусть ф-ция f(x) непрерывна на [a, b], тогда, если ф-ция F(x) явл. нек-рой первообразной для f(x) на [a, b], то = F(b) – F(a). Доказательство: т.к. ф-ция f(x) непрерывна на [a, b], то ф-ция , где х[a, b] явл. первообразной для ф-ции f(x). С др. стороны, т.к. Ф(х) и F(x) две первообразные, то Ф(х) = F(x) + C или = F(x) + C. (1). В равенстве (1) положим х = а, получим 0 = F(a) +C  C = - F(a). Подставим в равенство (1) найденное значение с. Получим: = F(x) – F(a). (2). В равенстве (2) полагаем х = в, получим = F(b) – F(a). Переобозначим в интеграле переменную t на х. Получим = F(x) = F(b) – F(a).

3.5 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

1. Замена переменной. Теорема: Пусть f(x) непрерывная на [a, b] ф-ция. Тогда, если: 1) ф-ция х = (t) дифференцируема на [, ] и ’(t) непрерывна на [, ]. 2) множеством значений ф-ции (t) явл. [a, b]. 3) () = a, () = b. То справ-ва формула = .

2. Интегрирование по частям

Теорема: Если ф-ции U = U(x) и V = V(x) имеют непрерывные производные на [a, b], то справедлива формула = U*V - .

Доказательство: Т.к. (U*V)’ = U’*V + U*V’ и в этом равенстве все ф-ции интегрируемы на [a, b], т.к. они непрерывны по усл. Теоремы, то, проинтегрировав это равенство на [a, b], получим = +  UV = + . Получим формулу: = UV -

3.6Приложение определенного интеграла в геометрии

Площадь плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси ОХ и ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0 находится по формуле . Если фигура ограничена линиями у=f(x), y=(x),

x=a, x=b, то площадь находится по формуле f(x) - (x))dx (кривая f(x) лежит выше кривой (x) ). Площадь криволинейной трапеции прилежащей к оси ОУ находится по формуле (y)dy. 2.Объем тела вращения.

Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0. Предположим, что f(х) - непрерывная функция. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками a=x_o< x₁< x₂<…< x _n-1<x _n = b. Через каждую точку деления проведем плоскость  оси ОХ. Все тело разобьется на n слоев. На каждом из частичных отрезков [х_i-1; x_i] выберем произвольным образом точку х_i-1<=<= x_{i .} Объем каждого слоя заменим объемом цилиндра, высота которого  x_{i ,} а R= f(). Объем ступенчатого тела =f²(₁)  x₁ +f²(₂)  x₂ +…+ f²(_n)  x_n = f²(_i)  x_i . Это интегральная сумма для функции f²(x) на отрезке [a;b] . Т.к. функция f(x) непрерывна, то существует предел = f²(_i)  x_i = = {x_i}. Этот предел и принимает за объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции оси ОХ. V= (вращение вокруг оси ОХ). V= (вращение вокруг оси ОУ). 3.Длина дуги кривой. Под длиной дуги понимают предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а долина наибольшего звена стремится к нулю. В этом случае кривая называется спрямляемой. Пусть кривая задана непрерывной функцией y=f(х), которая имеет непрерывную производную f ’(х) на отрезке [a,b] , т.е. кривая является гладкой. Впишем в данную кривую ломаную линию М₀М₁…Мn, где М₀=А(а, f(а)) и Мn=В(b,f(b)). Проэцируем М_k-1M_k на ось Ох, получаем разбиение {x_k} отрезка [a,b]. Пусть y_k – приращение функции f(х) на отрезке [x_k-1x_k]. По т Пифагора . По т. Лагранжа о конечных приращениях : y_k=x_kf ’( _k) ( _k[ x_k-1x_k]), М_k-1M_k=x_k. Длина всей ломаной: =x_k. Тогда предел интегральн. суммы: l=x_k.

3.7 Теорема о среднем значении функции

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка c € [a, b] такая, что Доказательство: Т.к. функция f(x) непрерывна на [a, b], то на этом отрезке она принимает свое наименьшее значение m и наибольшее значение M, тогда . Составим интегральную сумму для функции m, f(x), M.

в последнем равенстве перейдем к пределу при :

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает все промежуточные значения между m и M, из этого следует, что существует точка c € [a, b] такая, что , что и требовалось доказать. Замечание:

Значение функции называют средним значением функции y=f(x) на отрезке [a, b]

Геометрический смысл теоремы о среднем.

Из формулы (4) следует, что площадь криволинейной трапеции aABb=площади прямоугольника высотой f(c) и основанием (b-a).Нахождение средних издержек производства

Обозначим через y издержки производства, выраженные в денежных единицах, через x – объем выпущенной продукции. Очевидно, что издержки производства являются функцией от объема продукции, т.е.y=K(x). Предположим, что функция K(x) непрерывна, тогда согласно теореме о среднем значении функции среднее значение издержек при изменении объема продукции от а до в определяется следующим образом: