1.5.3.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных

Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных z = f(x,y) в непрерывном на некотором замкнутом множестве Х (глобальный max и глобальный min) достигают в точках или в точках экстремумов, или на границе области.

Условный экстремум

Пусть дана функция 2-х переменных z = f(x,y), аргументы которой х и у связаны соотношением g(x,y)=0(которое называется уравнением связи). Тогда задача нахождения экстремума функции z = f(x,y) при условии, что g(x,y)=0, называется задачей на условный экстремум.

а) Один из алгоритмов решения этой задачи сводится к

z = f(x,), получаем функцию одной переменной.

б) Метод множителей Лагранжа

Строим функцию

-функция 3-х переменных

Находим частные производные:

Находим точки экстремумов

Далее - проверка достаточности условий для функции 3-х переменных.

3.1 Определенный интеграл

Пусть ф. у = f(х) опр-на на отр. [а; b]. Разобьем отрезок [а; b] на n произвольн. частей точками а = x₀<x₁<x₂<…<x_n = b. Точки x_0, x₁, x₂,…,x_n наз-ся т-ми разбиения. В каждом из полученных частичн. отр-в [x_i-1; x_i] выберем произв. образом точку ξ, x_i-1 ≤ ξ ≤ x_i. Длину частичн. отр. обозначим ∆x_i = x_i - x_i-1. Сост-м сумму (1): σ = f(ξ₁) ∆x₁ + f(ξ₂) ∆x₂ +…+f(ξ_n) ∆x_n = . Сумма «сигма» назыв-ся интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b] соотв-щей данному разбиению отрезка [a, b] на частичн. отр-ки и данному выбору точек ξ_i.Обозначим через λ длину наибольшего отрезка разбиения.

Опр-е: Если сущ-ет конечный независящий от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки и от выбора точек ξ_i соответствующих частичных отрезков [x_i-1; x_i] предел интегральной суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на пром-ке от a до b и обозн-ся (2)В этом случае ф-ция называется интегрируемой на отрезке [a, b], a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Геометрический смысл опред-ого интеграла. Пусть f(x)≥0 на отрезке [a, b]

y=f(x) x=a

x=b y=0

Площадь ступенчатой фигуры:

σ = f(ξ₁) ∆x₁ + f(ξ₂) ∆x₂ +…+f(ξ_n) ∆x_n =

равна интегральной сумме для ф-ции f(x) на отрезке [a, b]. Если сущ-ет,то его прин-юза площадь криволинейной трапеции.Необходимое условие интегрируемости функции

Теорема: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство: Предположим противное, т.е., что ф-ция f(x) не ограничена на отрезке [a, b], тогда она не ограничена хотя бы в одном частичном отрезке, например в отрезке [a_k-1, a_k], тогда за счет выбора точки ξ_k выражение f(ξ_k)∆x_k можно сделать сколь угодно большим, значит и интегральная сумма σ= тоже будет сколь угодно большой и ее предел не будет существовать, а это значит, что не существует, что противоречит условию, а из этого следует, что ф-ция f(x) ограничена на отрезке [a, b].

3.2 Свойства определенного интеграла.

1По определению полагают: 2.

3.Каковы бы ни были точки a, b, c, имеет место равенство:,при усл, что все эти интегралы существуют. Д-во: Пусть a<c<b, т.к. предел интегральн. суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки, то будем проводить разбиение так, чтобы точка c всегда была точкой разбиения отрезка [a, b]. Пусть с=x_m, тогда интегральн. сумму для функции f(x) на отрезке [a, b] представим в виде

(3)

Перейдем к пределу при в равенстве (3)

, т.к. по условию все три интеграла существуют, то из последнего равенства следует

4.

5.