1.4 Полный дифференциал.

О. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности в точки . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке , где представлено в виде (1)

Где А – постоянная величина, не зависящая от , при фиксированной точке х, - бесконечно малая при . Линейная относительно функция А называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df() или dy.

Таким образом, выражение (1) можно записать в виде ().

Дифференциал функции в выражении (1) имеет вид dy = A. Как и всякая линейная функция, он определен для любого значений в то время, как приращение функции необходимо рассматривать только для таких , для которых + принадлежит области определения функции f(x).

Для удобства записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимой переменной x. Поэтому дифференциал записывают в виде dy = Adx.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx:Dy = Adx.

Т.Для того, чтобы функция y = g(x) была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом

(2)

(*)Доказательство. Необходимость.

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке , т.е. . Тогда

.Поэтому производнаяf’() существует и равна А. Отсюда dy = f’()dx

Достаточность.Пусть существует производная f’(),т.е. = f’(). ТогдаГде - бесконечно малая и .Значит,дляимеем (3)

А так как - величина бесконечно малая, то наличие равенства (3) и означает дифференцируемость функции в точке . Формула (2) позволяет находить дифференциалы функций, если известны их производные. Так, например, используя производные некоторых элементарных функций, получаем : dc = 0 (с - постоянная), dsinx = cosxdx, и т.д.

Геометрический смысл дифференциала функции в точке - это приращение ординаты касательной к кривой в этой точке.

Если предположить, что функция y =f(x) сложная, т.е. , то производная

примет вид согласно правилам нахождения производной сложной функции. В этом случае выражение (2) можно записать так:

(*) где - сложная функция.

Приближенное вычисление с помощью дифференциала.

Согласно выражению (1), приращение функции f(x) можно записать в виде, откуда (4)

Формула (4) служит для приближенных вычислений значений функции в заданной точке. По сути дела это уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке , т.е. мы приближенно заменяем на участке кривую y = f(x) отрезком касательной. Для вычисления значения функции в точке х берут в некоторой ее окрестности точку , такую, что не составляет труда найти f() и f’()/

1.5.1 Необходимое условие экстремума функции двух переменных.

Т. Если ф–ция z=f(x;y) имеет в т.М₀(х₀;y₀) экстремум и в этой точке конечный частные производные 1–ого порядка, то они =0, т.е. f '_x(x₀;y₀)=0 и f '_y(x₀;y₀)=0.

Док–во: рассмотрим в окрестности т.М₀ только те точки, для которых у=у₀. Тогда мы получим ф–цию f (x₀;y₀) одной переменной и т.к. эта ф–ция в т.М₀ имеет экстремум при х=х₀, то её первая производная f '_x(x₀;y₀)=0.

Аналогично можно показать, что в тМ₀ f '_y(x₀;y₀)=0

Точки, в которых частные производные 1–ого порядка обращаются в 0 называются критическими или подозрительными на экстремум.