6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений

Разложение ф-ций в степенные ряды позволяет применять эти ряды для приближенного вычисления значений ф-ций,определенных интегралов,решения дифференциальных уравнений.Для вычисления приближенного значения ф-ции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают.Чтобы получить погрешность найденного приближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов.Если данный ряд знакопостоянный ,то ряд, составленный из отброшенных членов,сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.Если ряд знакопеременный и члены его удовлетворяют признаку Лейбница,то ипользуется оценка

∆<|u_n+1|, где u_n+1 – первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.

5.4 Признак Д’Аламбера и признак Коши.

Признак Д’Аламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел (1). Тогада: при l<1 ряд сходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.

Д-во. По определению предела последовательности рав-во (1) означает, что для люб. ε>0 найдется такой номер N, что при n≥N выполняется нерав-во или (2). Пусть l<1. Возьмем ε таким, чтобы число q=l+ ε<1. Из нер-ва (2) следует, что или a_n+1<qa_n (n≥N). Отсюда, полагая n=N, n=N+1, n=N+2, …, получаем: a_N+1<qa_N,

a_N+2<qa_N+1<q²a_N,

………………………

a_N+p<q^pa_N , .

След-но, начиная с номера N+1, все члены данного ряда не превосходят членов геометрического ряда. Т.к. этот геометр. ряд a_Nq+a_Nq²+…+a_Nq^p+… сходится и ряд a_N+1+a_N+2+…+a_N+p+… Поскольку конечное число членов не влияет на характер сходимости ряда, заключаем, что сходится и исходный ряд .

Пусть l>1. Выберем ε>0 таким, чтобы q=l- ε>1. Из соотношения (2) следует, что q<a_n+1/a_n, a_n+1>a_nq (n=N,N+1,N+2,…). Это означает, что, начиная с номера N, члены ряда возрастают. В этом случае не выполняется необходимый признак сходимости и ряд расходится.

Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда при l<1 ряд расходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.

Док-во: аналогично доказательству признака Д’Аламбера.

Интегральный прзнак Коши-Маклорена.

Интегральный прзнак Коши-Маклорена: Пусть дан ряд , члены к-рого положит-ны и не возрастают: a₁≥a₂≥ …≥a_n≥…Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .

Док-во: Рассмотрим ряд (1). Его частичными суммами будут также интегралы . Сходимость ряда (1) означает существование предела последовательности его частичных сумм: , т.е. сходимость (существование) несобственного интеграла (2). Из свойств функции f(x) следует, что (3)

Интегрируя нер-ва (3) на отрезке [n,n+1], получаем или (4).

Пусть ряд сходится. Тогда из того, что , по признаку сравнения должен сходиться составленный из интегралов ряд (1), алгоритм след-но, и несобственный интеграл (2).

Пусть теперь ряд расходится. Тогда расходится и ряд a₂+a₃+…+a_n+…, полученный из данного ряда отбрасыванием его первого члена. Т.к. (см. нер-ва (4)), по признаку сравнения должен расходиться ряд интегралов (1), т.е. несобственный интеграл (2).