8. Лабораторная работа №6

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Целью работы является исследование установившихся рабочих режимов сложных схем замещения электрических цепей на базе применения аппарата матриц и элементов топологической теории графов.

Содержание работы

1. Исследование установившегося режима цепи методом контурных токов;

2. Исследование установившегося режима цепи методом узловых напряжений.

Перечень необходимых материалов, приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.

Методические указания

Режим любой электрической цепи, например изображенной на рис.8.1, однозначно определяется законами Кирхгофа. Вид уравнений электрического состояния цепи, зависит только от схемы соединения ветвей, т.е. от топологической структуры цепи, и не зависит от вида параметров самих элементов. В таком случае, ветви, содержащие различные двухполюсные элементы, можно представлять просто линиями, а структуру цепи - совокупностью этих линий, которая называется графом электрической цепи (рис.8.2). Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называетсяветвью графа. Граничные точки ветви графа называютузлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой.

Рисунок 8.1 Электрическая схема

Рисунок 8.2 Граф электрической цепи

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 6.2 ветви 3-6; 2-5; 3-4-5; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.

Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.

Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 8.2 могут служить фигуры на рис. 6.3.

Рисунок 8.3 Примеры деревьев графа

Для аналитического описания структуры электрических цепей применяют топологические матрицы: соединений(узловая) [A] иконтуров[В].

Матрица соединений, ее размерность: число строк = число узлов - 1; число столбцов = число ветвей. Матрица состоит из элементов: 1, -1, 0. Если ток ветви подходит к данному узлу то 1, если отходит то -1, если ветви нет то 0.

Матрица главных контуров, ее размерность: число строк = число контуров - 1; число столбцов = число ветвей. Каждая ветвь должна входить только в один контур. Если ветвь входит в контур и ее направление совпадает с обходом контура то 1, не совпадает -1, ветви нет в контуре 0.

Отметим, что для матриц А, В, составленных для одного и того же графа, должно выполнятся соотношение

(8.1)

Матрицы исходных данных и исходных токов

Рисунок 8.4 Обобщенная ветвь с источниками ЭДС и тока

(8.2)

Размерности матриц источников тока, ЭДС, сопротивлений и искомых токов определяются количеством ветвей

; ;

[вх1] [вх1] [вхв] [вх1]