39. Метод неопределенных коэфф. Для решения лнду с постоянными коэфф. И специальной правой частью

этот метод исп. для нахожд. частного решения с пост. коэф.

ЛНДУ n-ого порядка y^(n) + a1y(n+1) + a2y(n=2) + … + a(n-1)y’ + a(n)y = f(x)

Часть f(x) имеет спец. вид, а именно f(x) = e^(𝔞x) * (Pn(x)cosBx + Qm(x)sinBx) , где 𝔞 и B – действ. числа, Pn(x), Qm(x) – многочлены степеней n и m

в этом случае чн.р. ур-ия имеет вид: y(чн) = x^r*e^(𝔞x)(Ns(x)cosBx) + Ms(x)sinBx) , где r – кратность числа 𝔞+Bi , как корня характ. ур-ия данного ЛНДУ , S = max{n;m}

Ns(x) и Ms(x) – многочлены степени S с неопр. коэф.

40. Методы решения лнду. Теорема о наложении решений лнду

Метод Рунге-Кутта: 3-го порядка

Модифицированный метод Эйлера

Метод вариации произвольных переменных

Метод неопределенных коэфф.

Теорема о наложении решений

Если ф-ия y = y1(x) явл. чн. р. ур-ия y” = p(x)y’ + q(x)y = f1(x), а ф-ия y = y2(x) – явл. чн. р. ур-ия y” + p(x)y’ + q(x) = f2(x), то ф-ия y = y1(x) = y2(x) явл. решением ур-ия y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x)

41.Системы ду. Сведение систем к одному ду.

Система ДУ 1-го порядка разрешенных относительно производных, т.е. система вида:

y1’ = f1(x;y1;y2;…;yn)

y2’ = f2(x;y1,y2,…,yn)

yn = fn(x,y1;y2;…;yn)

решением системы называется совокупность n-функций y1 = y1(x), y2 = y2(x), yn = yn(x), при подстановке которых в систему, система обращается в верное равенство.

изучение норм. систем ДУ обусловлено тем, что во многих случаях произвольно заданная система ДУ может быть сведена к норм. системе.

Основным методом решения норм. систем явл. метод сведения системы к одному ДУ, порядок которого = числу неизв. ф. в норм. системе

42.Понятие оригинала и изображения. Основыне свойства преобразования Лапласа.

Операц. или символическое исчисление – один из методов матем. анализа, позволяющий в ряде случаев сводить решений ДУ и интегр. уравнений к решению более простых алгебр. уравнений, это реализ. с пом. отображения множества ф-ий f(t) которые наз. оригиналами на множестве ф-ий f(t), которые наз. оригиналами на множестве функций F(p), которая наз. изображением.

Свойства:

Линейность преобразования Лапласа – cF(t), f1(t) + f2(t) – cF(p), F1(p) + F2(p)

Теорема подобия – f(at) – (1/a)*F*(p/a)

Теорема запаздывания – (t-a)F(t-a) – e^(-ap)*F(p)

Теорема смещения – e^(at)*f(t) – F(p-a)

Диф. оригинала - f’(t), f”(t), f^(n)(t) – (pF(p) – F(0)), (p^2*F(p) – pf(0) – f’(0)), (p”F(p) – p^(n-1)f(0) – p(n-2)f’(0) - … - f^(n-1)(0)

диф. изображения – (-t*f(t)) – F’(p)

инт. оригинала - ∫f(τ)dτ – F(p)/p

инт. изображения – f(t)/t - ∫F(s)ds

умножение изображений – f1(t) * f2(t) – F1(p)F2(p)

43.Изображения функций 1;t;t^n;e^𝔞t;sinBt;cosBt

1 = 1/p

t = 1/p^2

t^n = n!/p^(n+1)

e^λt = 1/p-λ

sinBt = B/p^2 + B^2

cosBt = p/p^2 + B^2

44. Применение операционного исчисления для решения ду. Примеры

y”-2y’+y = cosx

y(0) = C1; y’(0) = C2

y(x) <→ Y(p)

y’(x) <→ pY(p) – C1

y”(x) <→ p^2 * Y(p) – C1p – C2

cosx <→ p/(p^2 + 1)

p^2 Y(p) – c1p – c2 – 2(pY(p) – c1) + Y(p) = p/(p^2 + 1)

(p^2 – 2p + 1) Y(p) = p/(p^2 + 1) + c1p + c2 – 2c1

(p-1)^2Y(p) = p/(p^2 + 1) + c1p + c2 – 2c1

Y(p) = p/((p^2 + 1)*(p^2-1)) + c1p/(p-1)^2 + (c2-2c1)/(p-1)^2 + (c2-c1)/(p-1)^2 = ½ * 1-(p-1)^2 – ½ * 1/p^2+1 + c1/p-1 + c2-c1/(p-1)^2 <→ 1/2xe^x - 1/2sinx + c1e^x + (c2-c1)xe^x