2)Однородные ду:

Ф-ция f(x;y) наз. одн. ф-ей n-го порядка, если f(λx;λy)=λⁿf(x;y) при любых x,y, λ

ДУ разрешенное отн. произв. наз. одн., если его правая часть явл. Однородной ф-цией нулевого п-ка.

ДУ 1-го п-ка запис. в дифф. форме явл. одн.ф-иями одинакового п-ка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0

Можно показать, что любе одн. дифф. ур-ие 1-го п-ка y’= ϕ (y/x)

Метод решения:

u=y/x y=u*x

y’=u’x+u

u’x+u= ϕ (u)

u’x= ϕ (u)-u

du*x/dx= ϕ (u)-u

ʃdu/(v(u)-u)= ʃdx/x

3)Линейные ду

Линейным наз. ур-ие, кот. может быть записано в виде:y’=p(x)y+q(x)

Метод решения:

y=u*v

y’=u’v+uv’

u’v+uv’=p(x)*uv+q(x)

u’v+uv’-p(x)*uv=q(x)

u’v+u(v’-p(x)v)=q(x)

v’-p(x)v=0 и u’v=q(x)

4)Уравнение Бернулли

y’=p(x)y+q(x)y^α, α не равно 0 и 1

y=uv

35 ДУ 2-го порядка допускающие понижение порядка.

.ДУ 2-го порядка допускающие понижение пор-ка Иногда ДУ 2-го пор-ка с помощью подходящей подстановки может быть сведено к решению ДУ 1-го пор-ка. В этом случае говорят, что ДУ 2-го пор-ка допускающее понижение 1-го пор-ка 0. y’’=f(x) y’=∫f(x) y=∫(f(x)dx)dx 1. F(x,y’,y’’)=0 y’=z(x) y’’=z’(x) 2. F(x,y’,y’’)=0 y’=p(y) y’’=(p(y))’x=(dp/dy)*(dy/dx)=(dp/dy)p=p1/yp

36)Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка, теорема о структуре общего решения

y^(n) + a1y^(n-1) … + a(n-1)y + an*y + 0, где а1, а2 … an – действ. Числа

λ^n + a1*λ^(n-1) + … + a(n-1)λ + an = 0

т.к. это ур-ие n-ой степени, то оно имеет n-корней с учетом их кратности, причем корни могут быть действ. и компл.

Фунд. Нет решений ЛОДУ содержит n-лин. Частных решений и сост. но ??? принципу, если λ – действ. корень характ. ур-ния кратности k, то ему соотв. k-частных решений

y1 = e^λx, y2 = xe^λx, y3 = x^e*e^λx

если λ1 = 𝔞 + Bi явл. Компл. И ур-ия кратности k, то λ2𝔞 – pi явл. Корнем ур-ия кратности k, тогда имеет k-пар чн.р. ЛОДУ

37)Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэфф.

y” + py’ = qy = 0, p, q – действ. числа

согласно теореме о структуре общ. решения ур-ия, общ. решение этого ур-ия имеет вид y(оо) = c1y1 + c2y2

y1, y2 – лин. незав. частные решения

c1, c2 – постоянные

λ^2 + p λ + q = 0 , при решении этого уравнения возможны 3 случая:

1. D > 0 => λ1 ≠ λ2 два разных действ. корня

y(oo) = c1e^λ1x + c2e^λ2x

2. D = 0 => λ1 = λ2 = λ два совпад. действ. корня

y(oo) = c1e^λx + c2xe^λx

3. D < 0 => λ1,2 = 𝔞 ± Bi два компл. сопр. корня

y(oo) = c1e^λx cosBx + c2e^λx sinBx

38)Линейные неоднородные ду, теорема о структуре общего решения. Метод вариации произвольных постоянных

ЛНДУ n-порядка, наз. ур. вида y^n + a1(x)y^(n-1) + a2(x)y(n-2) + … a(n+1)(x)y’ = f(x), где a1(x), a2(x) – коэф. ур,

f(x) – свободный член ур.

теорема о структуре общ. решения

общее решение ЛНДУ = сумме общего решения соотв. ему ЛОДУ и какого-нибудь частного решения ЛНДУ y(он) = y(оо) + y(чн)

метод вариации произвольных постоянных

исп. для нахождения общ. решения ЛНДУ, если известно общее решение соотв. ему ЛОДУ.

рассм. этот метод: y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x), пусть известно общее решение ЛОДУ y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x), пусть y1(x) и y2(x) образуют фунд. систему решений ЛОДУ, тогда y(оо) = c1y1(x) + c2y2(x), где c1, c2 – произв. пост.

метод вариации произв. пост. состоит в том, чтобы искать чн. р. ЛНДУ в виде y(чн) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x), где c1(x), c2(x) – функции