7. Функции двух переменных, область определения, линии уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Число z из некоторого множества Z (z ϵ Z) по некоторому правилу f, то говорят, что на множестве х задана функция: z = f (n-переменных – называются независимыми переменными или аргументами.z-Зависимая переменная или функция множеств, x-область определения, Z – область значения функции.

Линия уровня. z = f(x,y) – линия удовлетворяющая уравнению f(x,y)=c

c = const

То есть линия уровня – линия, по которой функция принимает одно и тоже значение.

Число А – называется пределом (в точке ()). Если для любойнайдена такая проколотая, что для всех точек М(х, у)ϵ() соответствует значениеf(x,y)ϵ

– называется множество всех точек, располагающихся от точки меньше чем на б.

Функция z=f(x,y) называется прерывной в точке () (непрерывная по совокупности переменных), если она определена в этой точке и некоторой её окружности и

Точка (называется точкой разрыва функцииz=f(x, y), если это условие не выполняется.

8. Частные производные функции двух переменных, их геометрический смыслю

Частная производная функции двух переменных характеризирует скорость изменения функции при изменении только одной переменной, то есть движение вдоль координатных осей. Для характеристики скорости изменения функции в направлении заданного вектора вводится понятие производной по направлению.

Геометрический смысл. Значение частной производной в точке  равно тангенсу угла у составленного с осью  касательной, проведенной в точке  к линии пересечения поверхности  и плоскости у В этом заключается геометрический смысл частной производной.

9. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных

Частные производные иназываются частными производными 1-ого порядка, они так же являются функцией 2 переменных. Частные производные от частных производных 1-ого порядка называются частными производными 2-ого порядка.

Частная производная 2-ого или более высокого порядков, взятые по различным переменным называются смешанными частными производными.

Если функция z=f(x,y) и её частные производные иопределены в некоторой окрестности точки (и непрерывна в этой точке, то=в точке (. Результат дифференцирования функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования по различным переменным.

10. Понятие дифференцируемости функции 2 переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции 2 переменных

Функция z = z (x, y) называется дифференцируемой в точке ,если её полное приращение в этой точке представлено в видеZ=Ax+By+(x, y)x+(x,y)y, где А, В – некоторые числа (не зависит от x,y)

Необходимые условия. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное не верно.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке существую частные производные.

= А и = В. Обратноене верно

Достаточные условия. Если функция z=f(x,y) в некоторой окрестности точке (х₀, у₀) имеет частные производные и эти частные производные непрерывны в самой точке (х₀, у₀), то функция z=f(x, y) дифференцируема в самой точке (х₀, у₀).