Схемотехника / Учебники и методички / potehin

Метод деления/умножения

Правило перевода целых чисел. Для перевода целого числа Np, представленного в системе счисления с основанием P, в систему счисления с основанием q, необходимо данное число делить на основание q (по правилам системы с основанием P) до получения целого остатка, меньшего q. Полученное частное снова необходимо разделить на основание q и т.д., пока последнее частное не станет меньше q. Число Nq в новой системе счисления представится в виде упорядоченной последовательности остатков в порядке, обратном их получения. Причем цифру старшего разряда дает последнее частное.

Пример 1. Перевести десятичное число 15710 в двоичный код, результат проверить.

Проверка: 9D16 = 9 161 + 13 160 = 144 + 13 = 15710.

Для облегчения работы с двоичными кодами желательно знать наизусть десятичные значения чисел 2n от n = 0 до n = 15.

31

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Таблица 2.1

Правило перевода правильной дроби. Перевод правильной дроби Np,

представленной в системе счисления с основанием P, в систему с основанием q заключается в последовательном умножении этой дроби на основание q (по правилам системы счисления с основанием P), причем перемножению подвергаются только дробные части. Дробь Nq в системе счисления с основанием q представится в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения, где цифра старшего разряда является первой цифрой первого произведения. Если требуемая точность перевода есть q–k, то число последовательных произведений равно k.

Пример 1. Перевести десятичную дробь 0,38610 в двоичную систему счисления с точностью до 2–7.

0,3697 0,7394 0,4788 0,9576 0,9152 0,8304 0,6608

Искомое число в двоичном коде будет равно 0.369710 = 0,01011112

Произведем проверку перевода:

0.01011112 = 0 2–1 +1 2–2 +0 2–3 + 1 2–4 +1 2–5 + 1 2–6 + 1 2–7 =0.3671.

Пример 2. Перевести 0,369710 = в восьмеричный код с точностью q-1. 0,3697 0,7394 0,6608

ностью q–2.

0,3697 0,739416 16 5,9152 14,6432

направление чтения Шестнадцатеричный код числа 0,369710 = 0,5E16

Проверка перевода дает: 0,5E16 = 5 16–1 + 14 16–2 =0,367210.

При переводе смешанных чисел необходимо отдельно перевести целую и дробную части, а полученные результаты объединить.

Метод вычитания. На первом шаге определяется старший разряд двоичного числа n для переводимого десятичного числа N0 из условия

32

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

2n+1 > N0 2n

и в этот разряд вписывается единица. Затем из исходного числа N0 вычитается 2n , и находится первая разность: N1 = N0 – 2n

Для этой разности находится следующая максимальная степень числа 2 (в порядке убывания), и производится вычитание, а в соответствующий разряд вписывается единица. Эта процедура продолжается до тех пор, пока десятичное число не станет равным нулю. Разряды, в которых отсутствуют единицы, заполняются нулями.

Пример 1. Перевести десятичное число 9910 в двоичный код.

В итоге имеем 8310 = 10100112.

Перевод дробного десятичного числа выполняется аналогично. Процедура продолжается до получения заданной степени точности.

Пример 2. Перевести дробное десятичное число 0,68910 в двоичный код методом вычитания (с точностью до пяти разрядов). Подбираем первое число 2–n, которое не превышала бы заданное число. Находим первую разность этих чисел и дл неё подбираем новое значение 2–n. Процесс продолжается до получения требуемой точности (погрешности перевода).

Подобным образом переводятся десятичные числа в восьмеричный и шестнадцатеричный коды.

Перевод чисел из восьмеричной, шестнадцатеричной системы счисле-

ния и обратно. Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную каждую цифру этого числа необходимо записать трехразрядным двоичным числом (триадой). При этом восьмерично-двоичный код совпадает с двоичным.

Пример 3. (235,275)8 = 010 011 101, 010 111 1018-2 = = 10011101,0101111012

33

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

210 310 510 , 210 710 510

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на триады и записать каждую группу цифрой в восьмеричной системе. Крайние неполные триады дополняются нулями.

Пример 4. 10101,01112 = 010 101, 011 1008-2 = 25,348

210 510 , 310 410

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать тетрадой, при этом шестнадцатерично-двоичный код совпадает с двоичным, поскольку 16 = 24.

Пример 5. 9D,5E16 = 1001 1101, 0101 111016-2 = 10011101,01011112.

910 1310 , 510 1410

Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на тетрады и каждую тетраду представить шестнадцатеричной цифрой.

Пример 6. 111100,101012 = 0111 1100, 1010 100016-2 = 7C,A816

710 1210 , 1010 810

Основными недостатками двоичной системы счисления являются большая длина разрядной сетки по сравнению с другими системами счисления, необходимость перевода исходных числовых данных из десятичной системы счисления в двоичную, а результатов решения – из двоичной в десятичную.

Двоично-десятичная система счисления BD (Binary Decimals) имеет основание d = 10, и каждая цифра (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) изображается в этой системе счисления четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой. Она используется в ЭВМ не только в качестве вспомогательной системы счисления при вводе и выводе данных, но и в качестве основной при решении задач, когда в ЭВМ вводится и выводится большое количество чисел, а вычислений над ними производится мало. Десятичные числа в дво- ично-десятичной системе счисления кодируются в прямом нормальновзвешанном коде 8-4-2-1, т.е. каждую цифру десятичного числа необходимо заменить соответствующей тетрадой двоичных чисел.

Для перевода десятичного числа в двоично-десятичный код, десятич-

ный символ следует заменить его двоичным изображением в виде тетрады.

Пример 7. 91,3710 = 1001 0001. 0011 01112-10

910 110 , 310 710

Для перевода двоично-десятичного числа в десятичное необходимо исходный код разбить на тетрады вправо и влево от запятой (неполные тетрады дополнить нулями) и заменить полученные тетрады соответствующими десятичными символами.

Пример 8. 11001,001112-10 = 0001 1001. 0011 1000 = 19,3810

110 910 , 310 810

34

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

В таблице 2.4 приведены изображения десятичных чисел 0...20 в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном кодах.

Наряду с этим кодом при двоичном кодировании десятичных цифр используются другие коды, наиболее употребляемые приведены в таблице 2.5.

Код 7421 отличается тем, что любая кодовая комбинация содержит не более двух единиц. В коде 2 из 5 все кодовые комбинации содержат только две единицы из пяти. Это свойство используется для выявления ошибок в кодовых комбинациях (любое отклонение от этого указывает на ошибку).

35

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

При выполнении арифметических операций широко используется самодополняющиеся коды, инверсия двоичных цифр, в которых дает дополнение до 9. Таким свойством обладают код 2421, код с избытком 3, код с избытком 6. Например, в коде с избытком 6 цифре 0 соответствует кодовая комбинация 0110, ее инверсия 1001 соответствует цифре 9 (в коде 8-4-2-1), сумма этих чисел 0 и 9 дает 9 (1111) и т.д.

2.3. Формы представления чисел в цифровых устройствах

Вцифровой технике применяют две формы представления чисел: с фиксированной и плавающей точкой. Эти формы называют соответственно естественной и полулогарифмической.

Представление чисел с фиксированной точкой.

Вслучае фиксированной точки (запятой), для всех чисел, над которыми выполняются операции в машине, положение точки строго фиксировано

–порядок числа P в машине постоянен. Выбор величины P при использовании чисел с фиксированной точкой (запятой), в принципе, может быть произвольным. Положение точки закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, при этом точка никак не выделяется в коде числа, а только подразумевается. Множество чисел, которые могут быть изображены с помощью n разрядов, пред-

ставляют собой на числовой оси ряд из 2n равностоящих точек с дискретностью, равной весу младшего разряда, которые заполняют некоторую об-

ласть между Nmin и Nmax. Любое число между Nmin и Nmax может быть изображено с абсолютной погрешностью, не превышающей половины младшего разряда.

Для хранения целых чисел в ячейках памяти предусматривается распределение разрядов (разрядная сетка), показанное в таблице 2.6.

Для всех представляемых чисел их знаки плюс или минус, как правило, обозначают цифрами 0 и 1 соответственно и располагают перед старшим разрядом кода числа. В таблице 2.7 показана разрядная сетка восьмибитного числа.

Каждый разряд двоичного числа называют битом (от binary digit). Восьмибитовая единица получила название байт (byte).

36

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Если точка фиксирована после младшего разряда, то могут быть представлены только целые числа. Диапазон представления целых беззнаковых

Если количество значащих разрядов модуля числа превышает n – 1, происходит потеря старших разрядов модуля. Это явление называется переполнением разрядной сетки и приводит к ошибке в представлении числа. Учет знака приводит к уменьшению диапазона представляемых чисел.

При представлении дробных чисел запятая фиксируется перед стар-

шим разрядом. Диапазон представления дробных чисел:

N max = 0.11 …11 = 1 – 2–nN min = 0.00 … 01 = 2-n

Если представляемое число меньше Nmin, происходит обнуление разрядной сетки.

При представлении смешанных чисел запятая фиксируется (подразумевается) между целой и дробной частью:

знаковый разряд

Работа вычислительных устройств с фиксированной точкой используется в основном для управления технологическими процессами и обработки и обработки информации в реальном масштабе времени. При выполнении операций с фиксированной точкой основным операндом в ЭВМ является 32-разрядное, в микро и мини-ЭВМ – 16-разрядное, а в микропроцессорах- 8-разрядное слово (байт). В упакованном формате в одном байте размещаются две десятичные цифры.

Основное достоинство представления чисел с фиксированной запятой (точкой) заключается в том, что имеется возможность построить несложные арифметические устройства с высоким быстродействием.

Представление чисел с плавающей точкой

Кроме способа записи чисел с фиксированной точкой широкое распространение получил другой способ – представление чисел с плавающей точкой.

где – p основание системы счисления, d – целое число, выражающее порядок числа N; m – мантисса числа, причем всегда выполняется неравенство m < 1. Пример. Представить в форме с плавающей точкой числа (453) и (110101)

453 = 103 0,453= 10 4 0,0453= 105 0,00453.

37

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

110101 = 20110 0,110101= 20111 0,0110101= 21000 0,00110101

Представление чисел с плавающей точкой позволяет избежать масштабирования исходных чисел и слежения программистом за положением запятой во время вычислений и увеличить диапазон и точность представляемых чисел.

2.4. Двоичная арифметика

Арифметические операции над одноразрядными двоичными числами весьма просты, а над многоразрядными числами производится по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления (табл. 2.7)

Сложение двоичных чисел выполняется столбиком, начиная с младшего разряда. При сложении двоичных чисел следует внимательно следить за переносами в старшие разряды, поскольку эти единицы могут переходить не только в соседние разряды, но и в более старшие, более удаленные.

Значками " *" отмечены разряды из которых происходит перенос. Вычитание двоичных чисел производится по обычному правилу. При

вычитании иногда возникает необходимость занимать единицу из старшего разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам младшего разряда. Заем производится всякий раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше чем в разряде уменьшаемого. Если в соседних разрядах стоят нули, то заем делается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица.

Значками " *" отмечены разряды из которых производится заем.

В цифровой технике операция вычитания с использованием заема практически не применяется и реализуется как алгебраическое сложение с применением специальных кодов.

2.4.1. Сложение и вычитание двоично-десятичных чисел

Операция сложения производится только над модулями двоичнодесятичных чисел; знак результата определяется отдельно в результате анализа знаков слагаемых.

38

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Сложение модулей десятичных чисел, имеющих одинаковые знаки, про-

изводится по следующим правилам [15]:

1.Одно из слагаемых представляется в коде с избытком 6 (табл. 2.3), другое – в коде 8-4-2-1

2.Сложение двоично-десятичных модулей выполняется по правилам двоичной арифметики.

3.Если при сложении тетрад получается результат больше 10, то автоматически вырабатывается перенос в следующую тетраду. В этом случае результат в данной тетраде получается в естественном двоично-десятичном коде 8-4-2-1 и коррекция для этой тетрады не требуется.

4.Если при сложении в каких – либо тетрадах переносы отсутствуют, то для получения истинного результата из кодов этих тетрад необходимо вычесть избытки 6 (сложить дополнение до 16, т.е. 1010).

Пример 1. Сложить числа + А = 3610 и + B = 5810. Прямые двоичнодесятичные коды этих чисел А2 = 0011 0110, B2 = 0 1 0 1 1 0 0 0, избыточный код числа В равен Визб = 1011 1110. Проведем операцию суммирования. Из первой тетрады перенос отсутствует, поэтому прибавляем корректирующий код К = 1010.

Ответ: Сумма 9410

Сложение модулей десятичных чисел, имеющих разные знаки, произво-

дится по следующим правилам:

1. Модуль положительного числа представляется в прямом коде 8-4-2-1; модуль отрицательного числа – в дополнительном коде с избытком 6. Для получения дополнения отрицательного числа от модуля надо инвертировать значения разрядов всех его тетрад и к младшему разряду последней (младшей) тетрады прибавить единицу. Дополнительный код от модуля двоичнодесятичного числа берется не десятичный, а двоичный, представляющий собой дополнительный код с избытком 6 (тетрады дополняются до 16, а не до

10).

2.Сложение двоично-десятичных модулей выполняется по правилам двоичной арифметики.

3.Если при сложении тетрад получается результат больше 1010, то автоматически вырабатывается перенос в следующую тетраду. Если возникает

39

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

перенос из старшей тетрады, то он теряется, а результату присваивается знак плюс, т.е. результат получается в прямом избыточном коде. Для получения истинного результата необходимо вычесть избытки 6 (сложить дополнение до 16, т.е. 1010) в тех тетрадах, где перенос отсутствовал.

4. Если при сложении тетрад (п. 2.) перенос из старшей тетрады отсутствует, то результату присваивается знак минус, т.е. результат получается в дополнительном избыточном коде. После чего провести коррекцию полученного кода: прибавить дополнение 1010 к теми тетрадам, где был перенос. Для получения прямого кода результат необходимо инвертировать и к младшему

Просуммируем из числа А = + 35710 число B = – 19610. Для этого следует сложить Апр и Вдоп. Знак суммы положительный, проведем коррекцию второй тетрады, в которой перенос отсутствовал.

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)