§ 6. Показатели вариации признака

Средние величины раскрывают важную обобщающую харак­теристику совокупности по варьирующему признаку. Рассчитав их, необходимо уяснить, насколько они показательны, типич­ны или однородны. Одинаковые средние могут характеризовать совершенно разнородные совокупности. Покажем это на элемен­тарном примере, который будем усложнять по мере расчета но­вых показателей вариации.

Предположим, что в одном суде 10 осужденным были назна­чены такие сроки лишения свободы: 1, 2, 3, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 15 лет, а в другом также 10 осужденным было назначено: 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8 лет. Средняя арифметическая в обоих случаях будет одинаковой:

Зс, = £*: « = (1+2 + 3 + 3 + 4 + 9 + 10 + 12 + 13 + 15): 10 = 72 : 10 = 7,2 года; х2 = ^х: « = (6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8): 10 = 72: 10 = 7,2 года.

Средние равны, а ряды существенно различаются между со­бой: первый ряд менее однороден, чем второй, следовательно, и средняя первого ряда менее показательна и менее надежна, чем средняя второго.

Для того чтобы наши суждения о различиях подобных вари­ационных рядов были статистически точными, можно прибег­нуть к показателям отклонений различных вариант от средней. Возьмем пока крайние отклонение. В первом ряду отклонения первого члена (1) от средней (7,2) равно-6,2, отклонение десятого члена (15) от средней (7,2) равно+7,8. Во втором ряду аналогичные отклонения равны -1,2 и +0,8. Полученные резуль­таты уже можно математически сопоставлять и измерять. Они подтверждают наши предварительные суждения. Теперь рассчи­таем все отклонения значений признаков обоих вариационных рядов от средней арифметической и сведем эти расчеты в табл. 9.

Таблица 9

Расчет отклонений

 

№ п/п	Первый суд			Второй суд
	Сроки лишения свободы м	Отклоне­ния от средней (х-х)	Квадрат отклоне­ний (*-*)'	Сроки лишения свободы (X)	Отклоне­ния от средней (х-х)	Квадрат отклоне­ний (х-.х)
1	1	-6,2	38,44	6	-1,2	1,44
2	2	-5,2	27,04	6	-1,2	1,44
3	3	-4,2	17,64	7	-0,2	0,04
4	3	-4,2	17,64	7	-0,2	0,04
5	4	-3,2	10,24	7	-0,2	0,04
6	9	+ 1,8	3,24	7	-0,2	0,04
7	10	+2,8	7,84	8	+0,8	0,64
8	12	+4,8	23,04	8	+0,8	0,64
9	13	+5,8	33,64	8	+0,8	0,64
10	15	+7,8	60,84	8	+0,8	0,64
Итого         72		0	239,60	72	0	5,6

Первый и наиболее простой показатель вариации — это раз­мах вариации R. Он исчисляется в виде разности между наиболь­шими и наименьшими значениями варьирующего признака:

В первом суде размах вариации наказания оказался равным Л, = 15 - 1 = 14, а во втором — Кг = 8 - 6 = 2. Различия существен­ны: R} > R2 в 7 раз. Но может случиться так, что и размах вари­ации будет одинаковым, равным. Например, /{, = 15-10 = 5; /?з = 8-3 = 5, хотя ряды существенно различаются между собой. Размах вариации улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений от средней всех значений признака в вариационном ряду. Последнее можно получить, если рассчи­тать отклонения всех вариант от средней (х, - ~х ) + (х2 - ~х) + и т. д. (графы 3 и 6 табл. 9) и исчислить среднюю арифметическую из всех отклонений.

При изложении средней арифметической величины мы уста­новили, что сумма всех положительных (которые больше сред­ней) и всех отрицательных (которые меньше средней) отклоне­ний равна нулю, что мы и видим в итоге граф 3 и 6 табл. 9. По­этому при расчете средней арифметической из отклонений не­обходимо абстрагироваться от знаков «+» и «-». В этом случае сум­ма отклонений £(х - х), разделенная на число отклонений п, а при наличии частот — на число /, и будет средним арифмети­ческим отклонением. В связи с этим расчетная формула будет выглядеть так:

В результате мы получили среднее арифметическое (линейное) отклонение, которое обозначается символом d. Это вторая мера измерения вариации признака.

Среднее арифметическое (линейное) отклонение в статис­тическом анализе применяется редко. Обычно используют тре­тий показатель вариации — дисперсию, или средний квадрат от­клонений. Она обозначается символом а (сигма малая в квадра­те) и представляет собой то же среднее арифметическое откло­нение (</), но только отклонения возведены в квадрат и из квад­ратов отклонений исчисляют среднюю величину:

а = — — - , а при наличии частот а =

При расчете дисперсии не надо абстрагироваться от знаков (+ и -) отклонений, так как при возведении в квадрат все знаки отклонений становятся положительными.

Если извлечь корень квадратный из дисперсии, то мы полу­чим следующий, четвертый, показатель вариации — среднее квадратическое отклонение, которое обозначается символом а (сигма малая):

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются наи­более распространенными и общепринятыми показателями вариа­ции изучаемого признака.

В юридической статистике они используются при сравнитель­ных статистических исследованиях, для обоснования ошибки реп­резентативности (ошибки выборки) выборочного наблюдения, а также при изучении корреляционных и иных статистических связей между признаками фактора и признаками следствия, или между причиной и следствием.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение обладают рядом свойств, которые приводятся без доказательств:

1)  дисперсия постоянной величины равна нулю;

2)  дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на какое-то постоянное число Л;

3)  если все варианты умножить на какое-то постоянное чис­ло А, то дисперсия увеличится в А раз, а среднее квадратичес­кое отклонение — в А раз;

4)  если все варианты разделить на какое-то постоянное А, то дисперсия уменьшится в А раз, а среднее квадратическое отклонение — в А раз.

Эти и другие свойства дисперсии могут быть использованы для упрощения и оптимизации техники расчетов.

В графах 4 и 7 табл. 9 мы находим квадрат отклонения каж­дой варианты и их суммы. Использовав их, мы и рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение для мер нака­зания 1-го и 2-го судов.

Дисперсия  о? = 23,96  для первого суда, а среднее квадратическое отклонение: о, = д/of = ,/23,96 = 4,9 года. ДисПерсия 02 =

= 0,56 для второго суда, а среднее квадратическое отклонение: о2 = v°2 = Д56 = 0,75.

Таким образом, меры наказаний, вынесенные первым су­дом, отклоняются от среднего на 4,9 года, а вынесенные вто­рым судом — на 0,75 года. Разница достигает 6,5 раза. Это существенно. Таким образом, средняя второго суда действительно более надежна, типична и показательна.

Пятый (по счету) показатель вариации -- это коэффици­ент вариации. В отличие от размаха вариации, среднего линей­ного, среднего квадратического отклонения и дисперсии, ко­торые выражаются в абсолютных и именованных числах, ко­эффициент вариации является показателем относительным. Он выражается в процентах, обозначается символом У и рассчи­тывается по формуле:

где V — коэффициент вариации; о — среднее квадратическое отклонение; х средний арифметический показатель.

В наших примерах коэффициент вариации будет равен: 4,9-100%

= > Для первого суда;

0,75-100% 7,2

= 10,4% для второго суда.

Коэффициент вариации предоставляет большие возможности для сравнительных изучений, поскольку сравнивать, например, средние квадратические отклонения вариационных рядов с разны­ми уровнями непосредственно нельзя. Коэффициент вариации в известной мере является критерием типичности средней. Если он относительно большой (например, выше 40%), то это значит, что типичность такой средней очень невысока. И наоборот, если его значение малое, то средняя является типической и надежной.