§ 2. Виды средних величин

Средние статистические величины имеют несколько видов, но все они относятся к классу степенных средних, т. е. средних, построенных из различных степеней вариантов: средняя арифме­тическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, сред­няя геометрическая и т. д.

Общий вид формулы степенной средней таков:

При расчете различных степенных средних все основные по­казатели, на основе которых осуществляется этот расчет (х, я), остаются неизменными. Меняется только величина т и соответ­ственно JC.

Если т = 2, то получается средняя квадратическая. Ее формула

Если т = 1, то получается средняя арифметическая. Ее формула

7 *арифм.

Если т = -1, то получается средняя гармоническая. Ее формула

*гармон.

Если т = О, то получается средняя геометрическая. Ее формула

,Х,    Х2 • Х3: . .-Х„ .

Различные виды средних при одних и тех же исходных по­казателях (значении вариант х и их числе л) имеют в связи с разными значениями степени далеко не одинаковые числен­ные значения. Рассмотрим их на конкретных примерах.

Предположим, что в поселке N в 1995 г. было зарегистрирова­но 3 автотранспортных преступления, а в 1996 г. — 6. В этом случае jc,=3, х2=6, a n (число вариант, лет) в обоих случаях равно 2.

При значении степени т = 2 получаем среднюю квадрати-ческую величину:

= ,/22j = 4,75.

1 получаем среднюю арифмети-

При значении степени т ческую величину:

•*арифм. ~~

При значении степени т = 0 получаем среднюю геометри­ческую величину:

 

При значении степени т = - 1 получаем среднюю гармони­ческую величину:

 

Произведенные расчеты показали, что разные средние обра­зуют между собой следующую цепь неравенства:

 

Закономерность проста: чем меньше степень средней (2; 1; 0; - 1), тем меньше значение соответствующей средней. Таким об­разом, каждая средняя приведенного ряда мажорантна (мажор от фр. majeur — больший) в отношении средних, стоящих спра­ва от нее. И это называется правилом мажорантное™ средних.

В приведенных упрощенных примерах значения вариант (х) не повторялись: значение 3 встречалось один раз и значение 6 -тоже. Статистические реалии более сложны. Значения вариантов могут повторяться по нескольку раз. Вспомним обоснование вы­борочного метода на основе экспериментального извлечения кар­точек, пронумерованных от 1 до 10. Некоторые номера карточек извлекались по 2, 3, 5, 8 раз. При расчете среднего возраста осуж­денных, среднего срока наказания, среднего срока расследова­ния или рассмотрения уголовных дел одна и та же варианта (х), например возраст 20 лет или мера наказания 5 лет, может повто­ряться десятки и даже сотни раз, т. е. с той или иной частотой (/). В этом случае в общую и специальные формулы расчета сред­них вводится символ / — частота. Частоты при этом называют статистическими весами, или весами средней, а сама средняя называется взвешенной степенной средней. Это означает, что каж­дая варианта (возраст 25 лет) как бы взвешивается по частоте (40 человек), т. е. умножается на нее.

Итак, общая формула взвешенной степенной средней име­ет вид:

где х — взвешенная средняя степени т; х — варианты (меняющиеся значения признака); т — показатель степени средней; Z — знак суммирования (сигма боль­шая);/— частоты вариант.

Выбор обычной средней или взвешенной определяется ста­тистическим материалом, а выбор вида степенной (арифмети­ческой, геометрической и т. д.) — целью исследования. Вспом­ним, когда рассчитывался среднегодовой прирост абсолютных показателей мы прибегали к средней арифметической, а когда исчисляли среднегодовые темпы прироста (снижения), то вы­нуждены были обращаться к средней геометрической, посколь­ку средняя арифметическая эту задачу выполнить не могла, так как приводила к ошибочным выводам.

В юридической статистике самое широкое применение нахо­дит средняя арифметическая. Она используется при оценке на­грузки оперативных работников, следователей, прокуроров, су­дей, адвокатов, других сотрудников юридических учреждений; расчете абсолютного прироста (снижения) преступности, уго­ловных и гражданских дел и других единиц измерения; обо­сновании выборочного наблюдения и т. д.

Средняя геометрическая величина используется при вычис­лении среднегодовых темпов прироста (снижения) юридичес­ки значимых явлений.

Средний квадратичный показатель (средний квадрат откло­нения, средне квадратическое отклонение) играют важную роль при измерении связей между изучаемыми явлениями и их при­чинами, при обосновании корреляционной зависимости.

Некоторые из этих средних, широко применяемых в юри­дической статистике, а также мода и медиана будут более под­робно рассмотрены в последующих параграфах. Средняя гармо­ническая, средняя кубическая, средняя прогрессивная (изобре­тение советского времени) в юридической статистике практически не применяются. Средняя гармоническая, например, которая в предыдущих учебниках по судебной статистике подробно из­лагалась на абстрактных примерах, оспаривается видными эко­номическими статистиками. Они считают среднюю гармоничес­кую обратной величиной средней арифметической, и поэтому она, по их мнению, не имеет самостоятельного значения, хотя другие статистики видят в ней определенные преимущества . Не вникая в теоретические споры экономических статистиков, ска­жем, что средняя гармоническая нами подробно не излагается ввиду неприменения в юридическом анализе.

Кроме обычных и взвешенных степенных средних для харак­теристики среднего значения варианты в вариационном ряду мо­гут быть взяты не расчетные, а описательные средние: мода (наи­более часто встречающаяся варианта) и медиана (срединная ва­рианта в вариационном ряду). Они широко применяются в юри­дической статистике.