§ 4. Средняя геометрическая

При рассмотрении относительных величин динамики мы уже обращались к средней геометрической величине. В настоящем па­раграфе дается ее системное понимание и исчисление на при­мерах той же динамики, поскольку именно при анализе рядов динамики средняя геометрическая находит широкое примене­ние в юридической статистике. Рассматриваемая величина ис­пользуется для вычисления средних темпов роста и прироста (снижения) наблюдаемых явлений. Изучение этих параметров в динамике преступности, выявленных правонарушителей, рас­крываемости, судимости, общего числа заключенных, оправ­данных, освобожденных от уголовной ответственности, рассмот­ренных гражданских дел, удовлетворенных и неудовлетворенных исков и других меняющихся во времени юридически зна­чимых явлений и процессов имеет важное практическое и на­учное значение.

Динамика юридически значимых явлений характеризуется многими показателями, в том числе и средними арифметичес­кими и геометрическими. Средние арифметические показатели применяются для расчета среднегодового абсолютного прироста (снижения), выраженного в именованных числах. Они важны, но недостаточны, особенно в сравнительных целях, для дости­жения которых большую помощь оказывают темпы роста, при­роста и снижения, выраженные в процентах. Расчет этих пара­метров производится по формуле средней геометрической, но на основе тех же абсолютных показателей. Обратимся к табл. 3, в которой приведены и абсолютные, и относительные величины динамики.

Сопоставление полученного усредненного показателя с ре­альными годовыми абсолютными приростами (строка 2 табл. 3) показывает, что в течение пятилетия прирост был очень нерав­номерным. В уголовной статистике редко встречаются тенденции, когда уровень преступности или ее отдельных видов изменяется по законам, близким к геометрической прогрессии, т. е. когда

Таблица   3

Динамика взяточничества в России (1991—1996 гг.)

Показатели	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Абсолютные показатели (1) учтенных деяний	2534	3331	4497	4889	4921	5453
Абсолютный годовой (2) прирост	—	+797	+ 1166	+392	+ 32	+532
Темпы роста к 1991 г.: (3) в процентах (4) в коэффициентах	100,0 1,0	131,5 1,315	177,5 1,775	192,9 1,929	194,2 1,942	215,2 2,152
Темпы роста цепные: (5) в процентах (6) в коэффициентах	100,0 1,0	131,5 1,315	135,0 1,350	108,7 1,087	100,7 1,007	110,8 1,108
Годовые темпы роста (7) в процентах	—	31,5	35,0	*,7	0,7	10,8
Абсолютное значение 1%
прироста (8) в единицах		25,3	33,3	45,1	45,7	49,3

каждый последующий уровень ряда примерно равен предыду­щему, умноженному на некоторое постоянное число, называе­мое в математике знаменателем прогрессии. Поэтому в чистом виде геометрическая прогрессия в динамике юридически значи­мых явлений наблюдается крайне редко.

При всей неравномерности общий абсолютный прирост взяточ­ничества за 5 лет (не считая базового 1991 г.) составил: 5453-2534= = 797 + 1166 + 392 + 32 + 532 = 2919 случаев учтенного взяточничества. Он представляет собой разность значений 1996 и 1991 г., или сумму ежегодных приростов зарегистрированных случаев взяточничества. Отсюда средний годовой абсолютный прирост определяется как сред­няя арифметическая величина из суммы ежегодных приростов пу­тем ее деления на число лет (без учета базового года):

*арифм  —;— = 583,8 случаев взяточничества.

В табл. 3 (строка 7) приводятся погодовые темпы прироста учтенного взяточничества, выраженные в процентах: 31,5; 35,0; 8,7; 0,7; 10,8, которые соотносятся с абсолютными годовыми приростами. Но на их основе нельзя рассчитать среднегодовые темпы общего прироста (в %) по правилам средней арифмети­ческой, т. е. путем деления их суммы (86,7%) на 5. Полученное среднее арифметическое частное (17,34%) неоправданно завы­сит реальный среднегодовой прирост. Поэтому он рассчитыва­ется по правилам средней геометрической на основе цепных темпов роста (строки 5 и 6 табл. 3), выраженных в процентах или коэффициентах:

где х.

геом   - V -Ч   2   3 • •

средняя геометрическая; х., х., х,,

хп — годовые темпы роста;

п — число лет в периоде, за который исчисляется средняя геометрическая, не считая базового года.

Подставим данные из таблицы (строка 6) в указанную фор­мулу расчета среднегодовых темпов прироста, выраженных в коэффициентах:

хгеом. = ^/1,315 1,350 1,087 1,007 1,108 = ^2,153 = 1,166 или 116,6%. Это и будет среднегодовой темп роста взяточничества. Отку­да среднегодовой темп прироста этого деяния будет равен 16,6% (116,6 - 100,0). Полученный средний геометрический показа­тель (16,6%) по правилам мажорантности средних заметно мень­ше среднего арифметического (17,34%).

Использование произведения годовых темпов роста для рас­чета среднегодовых темпов роста и прироста имеет серьезные недостатки. Данный прием пригоден для расчета названных по­казателей только тогда, когда все годовые (цепные) темпы ро­ста, если и не изменяются по возрастающей, но являются по­ложительными числами. Достаточно хоть одного значения, рав­ного нулю, как все произведение становится равным нулю. Се­рьезные трудности появляются и тогда, когда годовые показа­тели в какие-то годы не росли, а снижались, что встречается очень часто. В этом случае произведение годовых (цепных) тем­пов роста не будет равно общему темпу роста. Поэтому, если позволяют исходные данные, лучше обращаться к иной фор­муле расчета средней геометрической, которая строится на дан­ных общего темпа роста за весь период наблюдения независи­мо от годовых колебаний.

Темпы роста за весь период могут быть получены не только путем перемножения годовых темпов роста (в нашем примере за 5 лет, не считая данных 1991 г.), выраженных в коэффициен­тах— 1,315-1,350-1,087-1,007-1,108 = 2,153, или процентах -215,3%, но и через известные отношения динамики. Получен­ные значения по сути своей являются не чем иным, как темпом роста абсолютных показателей взяточничества за весь период к базовому 1991 г, (последняя графа строк 3 и 4 табл. 3). Если взять отношение абсолютных показателей взяточничества за 1996 г. (5453) к данным 1991 г. (2534) в процентах, то мы получим прак­тически те же самые значения — 215,2%, или 2,152 (коэффици­ент). Разница в 0,1%, или 0,001 коэффициента, между результа­тами первого и второго исчислений общих темпов роста обус­ловлена неизбежным округлением чисел при расчете годовых тем­пов роста при их перемножении, тогда как при расчете отноше­ния динамики абсолютных показателей последнего года к дан­ным базисного года таких округлений нет.

С учетом сказанного, средний геометрический показатель в данном случае может быть получен на основе следующей фор­мулы:

где УП — абсолютный уровень конечного (л-го) года; У6 — абсолютный уровень базового года; л — число лет (без учета базового года).

Подставляя в эту формулу числа из нашего примера, полу­чаем искомый результат:

= 5.

= 3/2,152 = 1,166, или 116,6%.

Таким образом, и в этом случае среднегодовой темп прироста оказался равным 16,6%.

Извлечение корня более чем второй степени (а средние темпы роста и прироста юридически значимых показателей приходится рассчитывать за 50 и более лет) требует сложных вычислений, особенно тогда, когда эта процедура производится не на ЭВМ. В этом случае можно пользоваться свойствами логарифмов (lg):

Обозначения символов прежние.

Наконец, есть более простой вариант расчета средней геомет­рической: использовать расчетные таблицы, подготовленные ста­тистиками'. Таблицы, разработанные A.M. Айрапетовым, напри­мер, позволяют получить показатели среднегодовых темпов роста за период от 2 до 55 лет и темпов снижения за период от 2 до 22 лет, если известны соответствующие исходные показатели.

Таблицы построены таким образом, что искомые средне­годовые темпы роста, прироста или снижения находятся в край­них левых колонках, а исходные показатели — справа (табл. 4).

Таблица 4

Таблица (фрагмент) среднегодовых темпов роста, прироста, %

Средний годовой темп		Темпы роста
роста	прироста	за 2 года	за 3 года	за 4 года	за 5 лет
116,50	16,50	135,72	158,12	184,21	214,60
116,55	16,55	135,84	158,32	184,51	215,06
116,60	16,60	135,96	158,52	184,84	215,52
116,65	16,65	136,07	158,73	185,16	215,99
116,70	16,70	136,19	158,90	185,47	216,45

Обратимся к нашему примеру. За 1991-1996 гг. учтенное взя­точничество увеличилось до 215,2% (графа последняя, строка 3 табл. 3). Этот рост произошел за 5 лет (так как 1991 г. взят за базу и его прирост в данных 1996 г. не представлен). В приведенном фрагменте табл. 4 в последней графе «за 5 лет» находим темп рос­та, равный (или близкий по значению) нашему 215,2—215,3. Бли­же всего к нашим данным стоит показатель 215,52. В первой гра­фе на этой же строке указан средний годовой темп роста — 116,60%, а во второй графе этой же строки — среднегодовой темп прироста 16,60% (оба показателя набраны полужирным шриф­том). Это и есть искомые результаты. Аналогичным образом нахо­дятся и средние темпы снижения.

Таким образом, для того чтобы рассчитать среднегодовые тем­пы роста и прироста, необходимы абсолютные показатели пер­вого (базового) и последнего годов, на основе которых рассчи­тывается относительная величина динамики в процентах, и ко­личество лет (без учета базового года). В статистических сборни­ках и официальной отчетности, как правило, уже имеются под­считанные общие итоги и даже проценты роста или снижения наблюдаемого явления. На основе их и числа лет мы легко мо­жем найти искомые среднегодовые темпы роста и прироста ин­тересующих нас явлений.