10. Закон сохранения и изменения количества движения.

Одним из следствий из основных законов динамики Ньютона является закон изменения количества движения(импульса).

Запишем 2-ой закон НьютонаF=mW в виде

F = m lim V/ t (1)

t

Заменяя в (1) величины F иW их средними значениями за конечный, но малый промежуток времени t, в течение которого действующая на материальную точку силаF не успевает заметно измениться, получимF_ср=mV/t. (2)

Рис.

Обозначим скорость мат. т-ки в начале промежутка t черезV₁, а в конце его – черезV₂. Тогда

V=V₂-V₁ и из (2) имеем F_ср t=m(V₂ - V₁) =mV₂-mV₁ (3)

ВекторF_срt наз-ся элементарным импульсом силы. Вектор mV - вектор количества движения точки. Разность

mV₂-mV₁=(mV) - приращение вектора количества движения за время t. Математическая формулировка закона изменения количества движения:

F_ср t=(mV). (4)

Элементарный импульс силы, действовавший на материальную точку в течение промежутка времени t , равен изменению ее количества движения за тот же промежуток времени.

В случае переменной силы, действующей в течение достаточно большого промежутка времени, последний следует разбить на достаточно малые элементарные интервалы t_k так, чтобы на каждом интервале можно было заменить силу ее средним значением в этом интервале F_k.

Пронумеровав все последовательные положения движущейся точки на ее траектории как на рис., применим (4) последовательно к каждому интервалу. Для 1-го интервала t₁=t₁–t₀ получим:

F₁t₁ =mV₁ -mV₀,

Аналогично далее:

F₂ t₂ = mV₂ - mV₁

F_k t_k = mV_k - mV_k-1

F_n t_n = mV_n – mV_n-1 .

Сложим все эти равенства. Тогда промежуточные значения вектора количества движения попарно сократятся, и мы получим :

F₁ t₁ +F₂ t₂ + ….+F_k t_k + ….+ F_n t_n =mV_n - mV₀ (5)

F_k t_k – наз. полным импульсом переменной силы за время t_n – t₀ .

Полный импульс переменной силы равен полному изменению количества движения за все время действия силы (закон изменения количества движения):

F_k t_k =mV_n -mV₀ , (6)

Используя наряду с законом сохранения кол-ва дв-я и 3-ий закон Ньютона, получим закон сохранения количества движения.

Для этого рас-м две взаимодействующие материальные точки массами m₁ и m₂ . Обозначим скорости движения этих точек в данный момент времени соотв. V₁ и V₂ (рис. 2.)

Рис.2.

Если первая из этих точек действует на вторую с F₁₂, то 2-я действует на 1-ю с силой F₂₁= -F₁₂. Под действием этих сил за промежуток времени t скорости точек получают приращения V₁ и V₂ и их количества движения изменяются соответственно на величину (m₁V₁) и (m₂V₂). Применяя закон изменения количества движения (4) к движению каждой точки в отдельности, можно написать:

F₂₁t = (m₁ V1), F₁₂t = (m₂ V₂) (7)

Складывая эти два равенства и учитывая, что F₁₂ = -F₂₁, получаем:

0 = (m₁ V1) + (m₂ V₂) =(m₁ V₁ + m₂ V₂) . (8)

Геометрическая сумма количества движения обеих точек m₁V₁ +m₂V₂ наз. количеством движения системы. Из (7) и (8) следует, что за время движения количество движения каждой точки в отдельности может изменяться, но количество движения системы остается постоянным:

m₁V₁ + m₂V₂ = const (9)

Аналогичным способом может быть выведен закон сохранения количества движения для системы, состоящей из любого числа материальных точек или тел, взаимодействующих только между собой.

В изолированной системе материальных тел количество движения всей системы в целом остается неизменным: m_iV_i = const. При механическом движении увеличение количества движения одного тела равно уменьшению количества движения всех остальных взаимодействующих с ним тел. Взаимодействующие тела обмениваются количеством движения; количество движения переносится от одного тела к другому. Скорость передачи количества движения определяет величину силы взаимодействия. Для каждого из тел в соответствии с (4) можно записать (mV)/t=F. Пример: человек прыгает с лодки.