2.Движение мат. Т-ки по окр-ти. Норм-е и танг-е ускор-е связь угловых и лин-х хар-к движ-я

Для установления основных закономерностей вращательного движения мы рассмотрим простейший случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя любыми точками которого во время движения остается неизменным.

Рассмотрим абсолютно твердое тело с закрепленной осью ОО, изображенное на рис.3. Проведем через эту ось две плоскости: Q и P.

Рис.3.

Неподвижная плоскость Q будет являться телом отсчета. Подвижная же плоскость Р скреплена с телом и вращается вместе с ним. Мгновенное положение этой плоскости будет характеризоваться величиной двугранного угла . Задание угла поворота  в этом случае целиком определяет положение тела; тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет лишь одну степень свободы. Угол  считается положительным. При вращении в обратном направлении  <0. При совершении n оборотов угол  = 2n.

Зависимость  = (t) - наз. уравнением вращательного движения тела.

При вращении всего твердого тела в целом отдельные его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

Кинематические характеристики различных движущихся точек (S,V, W) связаны друг с другом и с кинематическими характеристиками движения всего тела в целом.

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую в подвижной плоскости Р. Угол поворота всего тела  и путь S, пройденный точкой М, будем отсчитывать от плоскости Q. Если  измерять в радианах, то S и  связаны известным равенством S = r

За промежуток времени t тело повернется на  и точка М пройдет путь S = r.

Делим обе части равенства на t и перейдем к пределу

Lim S/t = r lim /t; (1)

t t

 lim/t = d/dt - угловая скорость t

1 об/мин = 2/60 (рад/с) = /30 (рад/с), Т- период обращения – время в течение которого тело поворачивается волруг неподвижной оси вращения на угол  = 2.

Из (1) следует V = r .

Угловую скорость вращения тела условились считать вектором, направление которого определяется известным правилом винта: если головку винта вращать в направлении вращения тела, то направление движения оси винта совпадает с направлением вектора угловой скорости. Очевидно, что вектор  всегда направлен || ОО в ту или другую сторону в зависимости от направления вращения. В векторном виде

V = r,

откуда V = r sin(,r) =r, т.к. sin 90⁰ = 1.

Очевидно, что угловая скорость будет одинаковой у всех точек вращающегося тела, а линейные скорости различных точек тела по величине будут пропорциональны расстоянию их до оси вращения r.

При неравномерном вращении  изменяется и за t получает приращение ; приращение линейной скорости произвольной точки М V будет равно

V  r  r, т.к. r =соnst.

Разделив обе части этого равенства на t и переходя к пределу, получим

Lim Vt  r lim t = r d/dt = r,

t t

где  - угловое ускорение. = рад/с²

 = d/dt (d/dt) = d²/dt²

Угловое ускорение считается векторной величиной. Вектор углового ускорения направлен ||, если вращение ускоренное и , если движение замедленное.

Линейное ускорение W какой-либо точки вращающегося тела связано с угловыми характеристиками его движения.

Рис.

W_ = dV/dt, но V = r, тогда W_ = d/dt (r) = r d/dt = r. W_n = V²/r = ²r²/r = ²r. Полное ускорение точки W =  W_² + W_n² = r ² + ⁴. tg   W_/W_n = r²r  /².

При

равномерном вращении твердого тела   ,   const и  = ₀ + t. При равноускоренном вращении   const,  = ₀ t   ₀ + ₀t + t²/2

равномерное движение точки по окружности есть движение с ускорением, поскольку ее скорость, все время направленная по касательной к данной окружности, непрерывно изменяет свое направление.

Как и всякий вектор ускорение можно записать через его проекции на оси координат:

W = W_xI + W_yj + W_zk,

где W_x = dV_x/dt = d/dt (dX/dt) = d²X/dt²,

W_y = dV_y/dt = d/dt (dY/dt) = d²Y/dt²,

W_z = dV_z/dt = d/dt (dZ/dt) = d²Z/dt²,

а величина вектора ускорения будет

W =  W_x² + W_y² + W_z².

Часто вместо выражения вектора ускорения через три его проекции на оси координат удобнее представлять его в виде геометрической суммы двух составляющих, направленных по касательной к траектории и по нормали к траетории. Первая составляющая W_ - тангенциальное или касательное ускорение характеризует быстроту изменения только величины скорости, вторая W_n – наз. центростремительным или нормальным ускорением характеризует быстроту изменения скорости только по направлению.

W =W_ +W_n. W_= dV/dt; W_n=V²/r, а

W W_² + W_n² =  (dV/dt)² + (V²/r)²