12.Гармонич-е колеб-е, его хар-ки. Мат., физ., пруж. Маятники

Колебания - движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени. Различают колебания механические, электро­магнитные и др. Колебания наз. свободными (собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний явл-ся гармонические колебания — К., при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Гармонические колеба­ния величины s описываются уравнением типа(1)

где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, ₀ — циклическая частота,  — начальная фаза колебания в мо­мент времени t=0, (₀t+) — фаза колебания в момент времени t.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повто­ряются через промежуток времени период Т. Число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, наз. Частотой(величина, обратная периоду). Единица частоты — герц (Гц): частота периодического процесса, при кото­рой за 1 с совершается один цикл процесса. Пример: материальная точка А движется по окружности радиуса R c угловой скоростью . Смещение ее вдоль оси Ох будет определяться проекцией радиуса на ось Ох: рис.

R_x(t) = R cos ( t +  ).

Математический маятник - тела, подвешенного на столь длинной нити, что размерами тела по сравнению с её длиной можно пренебречь. Нить нерастяжима и невесома:

Рис.

На тело действуют сила тяжести (mgsin, направлена вдоль касательной к траектории, меняет величину скорости тела) и сила натяжения нити. Маятник движется вниз с нарастающей скоростью.

По2-у зак.Ньютона:-mgsin=mW_(*)

В положении равновесия(т-ка 0) касательное ускорение W_ =0, а V=max и тело по инерции движется дальше, поднимаясь вверх. Слева от положения равновесия тангенциальная составляющая силы тяжести направлена против скорости, следовательно, движение маятника замедляется. В момент остановки(т-ки АиА)скорость V = 0, a ускорение W_=max

Частота мат. м-ка: g/l, а его период Т=2g/ll/gf(m)!g!

Аналогично рассматриваются колебания пружинного маятника и получают: X(t) = A sin(k/m t + ₀),

а период T = 2 = 2m/k, где к – жесткость.

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси, не проходящей через центр массы (рис. 2). К таким колебаниям применимо основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела, которое в проекции на ось вращения Z имеет вид:

В реальных свободных затухающих колебаниях их энергия, как и амплитуда, с течением времени непрерывно уменьшаются, расходуясь на преодоление сил тяжести.

13.Энергия колеб-ся тела. Собственные колебания з. Сложен. Гарм-х кол-й

Рассчитано, что стальной шар размером с Землю будет иметь период собственного основного колебания около 1 часа(А.Е.Г. Ляв, 1911). Впервые колебание с периодом 57 мин было обнаружено Беньоффом после сильнейшего землетрясения на Камчатке(1952). Это собственные колебания Земли, которые могут быть вызваны землетрясениями большой энергии. В наблюдаемом спектре обнаруживается много пиков более быстрых колебаний. По характеру деформаций среды и смещению в ней частиц собственные колебания подразделяются на радиальные и сфероидальные, с одной стороны, и на крутильные или тороидальные – с другой. При радиальных деформациях частицы смещаются по радиусу, а при сфероидальных – по сферическим поверхностям.

Сегодня зафиксировано около тысячи собственных частот Земли с Т-ми от 35 до 55мин.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпен­дикулярные векторные величины x и y, изменяющие­ся со временем с одинаковой частотой ω по гармони­ческому закону

; (6)

где e_x и e_у — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величины x и у, например, смещение материальной точки из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины

,

y = B cos (wt+a) (7)

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от раз­ности фаз обоих колебаний. Выражения (6).

Равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпен­дикулярных колебаний(частоты колеба­ний одинаковы):

,

(знак плюс в выражении для у соответствует движе­нию против часовой стрелки, знак минус — движе­нию по часовой стрелке).

Если частоты взаимно перпендикулярных колеба­ний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, на­з. фигурами Лиссажу.